Te has preguntado alguna vez Cuáles son los números del universo? Pues hay muchas opciones de candidatos dependiendo de qué parte de la naturaleza observas. Lo cierto es que los números complejos aparecen en muchas estructuras físicas y tienen propiedades que le dan una perfección algebraica y geométrica al plano cartesiano, lamentablemente no se les da demasiada importancia en las carreras universitarias. Aquí te quiero compartir mis videos de variable compleja elemental donde descubrirás que los números complejos son sencillos de manejar y hacen muy fácil el estudio de las isometrías del plano.
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miércoles, 10 de enero de 2018
jueves, 10 de agosto de 2017
Pensando en forma
Pensando en forma.
Es una platica con la que he participado en el Coloquio de Orientacion Matematica, que se esta realizando durante toda esta semana en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esta platica es apta para todo publico, no importa que no se dedique a algun area relacionada con matematicas.
En matemáticas una de las tareas es descubrir y aclarar las reglas del pensamiento correcto y eficiente. Es necesario que nuestro razonamiento esté en armonía con el universo para poder entender y deducir cosas. Desde niños, antes de ir a la escuela aprendemos a pensar y abstraer, para ello utilizamos la experiencia y la intuición. Experimentamos el mundo físico, las restricciones de nuestro medio, descubrimos patrones, regularidades.
Ser matemático, es llevar este ejercicio hasta las últimas consecuencias. En matemáticas es común inventar nuevos objetos hipotéticos que no tienen en principio realidad física, establecer reglas de interacción para jugar con estos objetos, y luego estudiar los patrones que aparecen en ese mundo abstracto inventado. Pero la verdad, en todos esos mundos abstractos de las matemáticas las reglas vienen del mundo físico, del sentido común.
El sentido común lo formamos experimentando el mundo físico. Ahora sabemos que mucho de ese sentido común está limitado por nuestro tamaño relativo a los demás objetos del cosmos.
En matemáticas, nos dedicamos a pensar, y hay tantas cosas en que pensar… Una de ellas es por ejemplo “la forma del universo”. Hubo alguien que pensaba mucho en eso. Se llamaba Henri Jules Poincaré.
Para poder hablar de eso primero nos tenemos que poner de acuerdo en qué entendemos por el universo.
La convención actual es que el universo es la variedad espacio tiempo más grande en la que está inmerso TODO, toda la materia y la energía que existió y existirá.
Es importante incluir el tiempo en esa variedad, porque hoy se sabe que el espacio y el tiempo no son independientes, que una deformación en el espacio implica una deformación en el tiempo y viceversa. Así que pensar en un espacio sin tiempo es un error. Estas son implicaciones de la teoría de la relatividad general, que también predice la existencia de ondas gravitacionales, que acaban de ser medidas experimentalmente apenas el año pasado 2016, 100 años después de que Einstein diera a conocer esta teoría. Así que la tarea de pensar como pueden ver, tiene alcances realmente sorprendentes.
Les decía que Henri Jules Poincaré estaba obsesionado con el tema de “la forma del universo” y fue padre de una de las ramas de la matemática que se llama “topología” (estudio de la forma). Sin salir de su cama pensaba en cómo podría abordar el estudio de la forma del universo, para eso primero pensó en cómo caracterizar “la forma” de los objetos, como un concepto aparte de la métrica.
Es decir, mira un objeto y piensa en su forma quitándole importancia a sus medidas. Es una buena idea porque nosotros como seres humanos difícilmente podríamos observar desde afuera algo semejante al universo, primero que nada porque es enorme, pero además el universo entrelaza el espacio y tiempo, y nosotros no tenemos libre desplazamiento en el tiempo. Y para emperorar las cosas, si pudiéramos salir del universo para contemplarlo entonces eso querría decir que ese no era el universo, por la misma convención que acabamos de hacer.
Poincaré comenzó desde lo más sencillo, así como haremos nosotros.
Ustedes se imaginaron la forma del universo alguna vez?? Yo, como tal vez muchos de ustedes, pensaba que se extendía infinitamente hacia cualquier dirección, no me parecía posible que tuviera una frontera, pensaba que cualquier pared o muro que me encontrara viajando en línea recta, podría romperlo y así continuar mi camino sobre la misma linea. Para comenzar a pensar en forma, debemos caracterizar distintas formas de las que ya conocemos muy bien, ponerles nombre, distinguir unas de otras. Así podemos comenzar a formalizar las ideas y explorar el tema de manera colectiva. Por ejemplo, cómo distinguirías una dona de una esfera?martes, 12 de julio de 2016
Primeras clases de ecuaciones diferenciales
Probablemente nunca necesites unas clases de ecuaciones diferenciales, pero tal vez tienes algo de curiosidad acerca de que se trata el tema. Si es asi, te puedo platicar un poquito de que es una ecuación diferencial
esto es lo que yo diría en una primera clase...
Una ecuacion diferencial es una ecuación donde aparecen relacionadas funciones y sus derivadas, las incógnitas en este caso son las funciones. Sabiendo esto ya puedes inventar muchas ecuaciones, con funciones de una variable o de muchas variables, si tus funciones son de muchas variables tendrás que usar derivadas parciales, aquí aparece la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones parciales vs Ecuaciones ordinarias. Obviamente las ecuaciones parciales son mucho más difíciles de resolver.
De donde salieron las ecuaciones diferenciales?
Las ecuaciones diferenciales aparecen en la modelacion de fenómenos fisicos, ya que la derivada de una funcion se interpreta como una razón de cambio instantánea de la funcion, por ejemplo, la derivada de la función que determina la posición de una partícula en el tiempo, es la velocidad, y la derivada de la velocidad, es la aceleracion. Se usan en fisica, biologia, química y sistemas complejos por ejemplo para modelar el clima, y hay audaces intentos de usarlas para estudiar movimientos sociales. Una vez un amigo hizo una ecuación diferencial del amor, tomando en cuenta la dinámica de encuentros entre individuos en la escuela :S. Bueno regresando al tema...
Si solo es una variable, entonces estamos hablando de ecuaciones diferenciales ordinarias, y aquí aparece una segunda clasificación, según sea el máximo orden de la derivada que aparezca en la ecuación, así que tenemos ecuaciones de primer orden, segundo orden, etc. De todas las ecuaciones que se te puedan ocurrir, solo muy pocas tendrán solución , en los cursos de ecuaciones se enseñan los métodos que se han descubierto para resolver algunas ecuaciones de las más sencillas (ordinarias y parciales). Como te puedes imaginar, las ecuaciones parciales requieren mucho más trabajo, así que hay cursos más avanzados para tratar estas ecuaciones.
Como las funciones incógnitas aparecen derivadas, será imprescindible calcular integrales, así que este curso requiere que hayas estudiando cálculo diferencial e integral.
Cuando las ecuaciones no se pueden resolver facil por algún método conocido, se usan otros métodos para aproximar las soluciones alrededor de algún punto, y estos métodos pueden estar basados en usar series de potencias, series de fourier (para buscar soluciones periodicas).
En la práctica estos métodos de aproximación sirven para hacer programas de computadora que ofrezcan aproximaciones con un margen de error deseado.
El método más elemental para resolver las ecuaciones de primer orden más sencillas se llama Separación de variables
este método es el más basico, al final de casi cualquier ejercicio, se llega a una ecuación separable. Espero que este post te haya gustado, si es asi, no dudes en compartirlo y en suscribirte a mi blog y a mi canal de youtube. Sugiere tus temas, comenta!
Sigueme en twitter: @darkrocio
...después de todo este rollo solo queda bailar alegremente y presumir lo que acabas de aprender :D
Una ecuacion diferencial es una ecuación donde aparecen relacionadas funciones y sus derivadas, las incógnitas en este caso son las funciones. Sabiendo esto ya puedes inventar muchas ecuaciones, con funciones de una variable o de muchas variables, si tus funciones son de muchas variables tendrás que usar derivadas parciales, aquí aparece la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones parciales vs Ecuaciones ordinarias. Obviamente las ecuaciones parciales son mucho más difíciles de resolver.
De donde salieron las ecuaciones diferenciales?
Las ecuaciones diferenciales aparecen en la modelacion de fenómenos fisicos, ya que la derivada de una funcion se interpreta como una razón de cambio instantánea de la funcion, por ejemplo, la derivada de la función que determina la posición de una partícula en el tiempo, es la velocidad, y la derivada de la velocidad, es la aceleracion. Se usan en fisica, biologia, química y sistemas complejos por ejemplo para modelar el clima, y hay audaces intentos de usarlas para estudiar movimientos sociales. Una vez un amigo hizo una ecuación diferencial del amor, tomando en cuenta la dinámica de encuentros entre individuos en la escuela :S. Bueno regresando al tema...
Si solo es una variable, entonces estamos hablando de ecuaciones diferenciales ordinarias, y aquí aparece una segunda clasificación, según sea el máximo orden de la derivada que aparezca en la ecuación, así que tenemos ecuaciones de primer orden, segundo orden, etc. De todas las ecuaciones que se te puedan ocurrir, solo muy pocas tendrán solución , en los cursos de ecuaciones se enseñan los métodos que se han descubierto para resolver algunas ecuaciones de las más sencillas (ordinarias y parciales). Como te puedes imaginar, las ecuaciones parciales requieren mucho más trabajo, así que hay cursos más avanzados para tratar estas ecuaciones.
Como las funciones incógnitas aparecen derivadas, será imprescindible calcular integrales, así que este curso requiere que hayas estudiando cálculo diferencial e integral.
Cuando las ecuaciones no se pueden resolver facil por algún método conocido, se usan otros métodos para aproximar las soluciones alrededor de algún punto, y estos métodos pueden estar basados en usar series de potencias, series de fourier (para buscar soluciones periodicas).
En la práctica estos métodos de aproximación sirven para hacer programas de computadora que ofrezcan aproximaciones con un margen de error deseado.
El método más elemental para resolver las ecuaciones de primer orden más sencillas se llama Separación de variables
...después de todo este rollo solo queda bailar alegremente y presumir lo que acabas de aprender :D
miércoles, 4 de mayo de 2016
Resolver ecuaciones diferenciales por medio de series
El método de resolver ecuaciones diferenciales por medio de series es uno de los métodos que sirven en la mayoría de ocasiones. Recuerda que para la mayoría de las ecuaciones diferenciales qué te puedas inventar, no existe un método de solución garantizado. Pero siempre puedes intentarlo con series.
La forma más general de una serie de potencias es la siguiente;
$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
donde $x_0$ es el punto alrededor del cual se construye la serie.
Después hay que derivar la serie termino a término
$$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n n(x-x_0)^{n-1}$$
$$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$$
y así sucesivamente...
y sustituir en la ecuación diferencial dada para encontrar una regla de recurrencia para los coeficientes de la serie, o sea los $a_n$. Recuerda que no podrás determinarlos todos porque en algunos casos la solución general queda en términos de una o más constantes libres, puesto que las soluciones en muchos casos forman espacios vectoriales. Eso es lo que pasará en los ejemplos que te presento a continuación, que son ecuaciones de segundo orden.
Uno de los problemas que tendrás que enfrentar es decidir alrededor de qué punto vas a desarrollar la serie. Puede que la solución en caso de que exista no esté definida en todo punto. Aquí te dejo un ejemplo donde eso sucede porque la solución es una función de tipo logaritmo y en ese caso es imprescindible escoger bien el punto alrededor del cual desarrollar la serie. Te comparto unos videos espero que te sean de gran utilidad.
Por último te presento un ejemplo bien sencillito con Series de Fourier, qué más bien se usan en ecuaciones diferenciales parciales pero este ejemplo me pareció muy bueno para introducirlas de manera más accesible. Aquí no tienes una serie de potencias, sino una serie construida con senos y cosenos, con estas funciones nos podemos aproximar más fácil a las funciones que son periodicas.
Por último no olvides suscribirte a mi canal de Youtube para que te enteres de todo lo que voy subiendo incluso antes de que pueda realizar los posts. Como retribución puedes ayudarme compartiendo mis videos y posts con tus amiguitos. Te deseo mucho éxito nos vemos en el próximo post! Sugiere tus ideas y temas :D
La forma más general de una serie de potencias es la siguiente;
$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
donde $x_0$ es el punto alrededor del cual se construye la serie.
Después hay que derivar la serie termino a término
$$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n n(x-x_0)^{n-1}$$
$$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$$
y así sucesivamente...
y sustituir en la ecuación diferencial dada para encontrar una regla de recurrencia para los coeficientes de la serie, o sea los $a_n$. Recuerda que no podrás determinarlos todos porque en algunos casos la solución general queda en términos de una o más constantes libres, puesto que las soluciones en muchos casos forman espacios vectoriales. Eso es lo que pasará en los ejemplos que te presento a continuación, que son ecuaciones de segundo orden.
Uno de los problemas que tendrás que enfrentar es decidir alrededor de qué punto vas a desarrollar la serie. Puede que la solución en caso de que exista no esté definida en todo punto. Aquí te dejo un ejemplo donde eso sucede porque la solución es una función de tipo logaritmo y en ese caso es imprescindible escoger bien el punto alrededor del cual desarrollar la serie. Te comparto unos videos espero que te sean de gran utilidad.
Por último te presento un ejemplo bien sencillito con Series de Fourier, qué más bien se usan en ecuaciones diferenciales parciales pero este ejemplo me pareció muy bueno para introducirlas de manera más accesible. Aquí no tienes una serie de potencias, sino una serie construida con senos y cosenos, con estas funciones nos podemos aproximar más fácil a las funciones que son periodicas.
Por último no olvides suscribirte a mi canal de Youtube para que te enteres de todo lo que voy subiendo incluso antes de que pueda realizar los posts. Como retribución puedes ayudarme compartiendo mis videos y posts con tus amiguitos. Te deseo mucho éxito nos vemos en el próximo post! Sugiere tus ideas y temas :D
sábado, 9 de abril de 2016
Resolver ecuaciones diferenciales por series de potencias
Estoy muy contenta de presentarte mi último video! Es un ejemplo desarrollado de principio a fin acerca de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales por medio de series de potencias. Estoy trabajando en ofrecer cada vez mejor material, con contenidos que sean de interés para ti. Que sean cada vez más claros y visualmente amables. No dejes de visitar mi canal de Youtube.
Además ya puedes apoyarme con una contribución voluntaria, solo busca el botón para aportaciones en mi canal de youtube, tu contribución me ayudara para mejorar la calidad de mis videos. También puedes apoyarme compartiendo mis videos con tus amigos :)
Te deseo mucho éxito, si tienes sugerencias de temas no dudes en escribirme!
Visita mis páginas: Ecuaciones Diferenciales
domingo, 20 de marzo de 2016
Simetrías en el plano 3 (Rotaciones)
Una rotación es una transformación qué deja fijo solo un punto en el plano, y conserva la orientación, y mantiene las distancias por eso es una isometria. A continuación te explico como se construye.
En el plano hay que escoger un punto que será el punto fijo y a este punto lo llamaremos el centro de rotación. Supongamos qué es el punto $P_0=(x_0,y_0)$. También hay que escoger un ángulo qué será el ángulo de rotación. Supongamos qué el ángulo deseado es $\alpha$. De notaremos la rotación con centro en $(x_0,y_0)$ y ángulo $\alpha$ como $$R_{P_0,\alpha}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R^2}$$
Para transformar un punto cualquiera del plano $P=(x,y)$ hay que trazar el segmento que une $(x,y)$ con $(x_0,y_0)$ y abrir el angulo $\alpha$ manteniendo fijo a $(x_0,y_0)$ como se muestra en el siguiente dibujo. El nuevo punto obtenido es la imagen de $(x,y)$ bajo la rotación $R_{P_0,\alpha}$, o bien $R_{P_0,\alpha}(P)$
Esto es la construcción geométrica de una rotación pero aún falta expresarla analiticamente. El caso más fácil es cuando el centro de rotación es el origen, o sea el punto $(0,0)$ en este caso cada rotación se puede escribir por medio de una matriz de 2 por 2. Todas las rotaciones en el plano tienen asociada una matriz cuadrada $A$ qué cumple dos propiedades:
Si una matriz de 2 por 2 cumple las condiciones antes enunciadas, entonces existe un número real $0\leq\alpha<2\pi$ tal que
$A=\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]$
y siguiendo la siguiente regla de aplicación encuentras la rotación de cualquier vector $(x,y)$
$\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= (x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$
Hay una manera de explicar de donde sale esta matriz utilizando números complejos. Vale la pena verla porque en la estructura compleja del plano, las rotaciones salen de una manera muy natural.
Primero hay que recordar que los números complejos se pueden expresar de varias formas, una es escribirlos como $z=a+ib$ pero también se pueden expresar por medio de su longitud, vistos como vectores y su ángulo. Checa el siguiente dibujo:
Observa que $a=|z|\cos\theta$ y $b=|z|\sin\theta$ Así que en lugar de escribir $a+ib$ podemos escribir $|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, es simplemente otra manera de expresar el mismo número complejo, pero que pasa si multiplicamos dos números complejos, sea $w=|w|(\cos\gamma+i\sin\gamma)$. Entonces $zw=|z||w|(\cos(\theta+\gamma)+i\sin(\theta+\gamma))$. Para demostrar esto último solo tienes que desarrollar el producto y utilizar las fórmulas del coseno y seno de la suma de ángulos. Lo importante es que al llegar a esta última fórmula puedes ver que hay un significado geométrico de la multiplicación de números complejos, ya que multiplicar es sumar los ángulos y multiplicar las longitudes de los vectores. Si lo piensas un poco te darás cuenta que sumar un ángulo fijo a todos los vectores, es en realidad una rotación qué deja fijo el origen. Para no alterar el tamaño de los vectores hace falta multiplicar por un complejo que tenga longitud 1, por ejemplo $\cos\gamma+i\sin\gamma$.
Ahora, como aplicamos todo esto en el plano? Considera un vector cualquiera $(x,y)$, a este vector le podemos asociar un único número complejo que es $x+iy$, para aplicarle una rotación de argumento $\alpha$ solo hay que multiplicarlo por el complejo unitario $\cos\alpha+i\sin\alpha$, lo que da como resultado:
$$(x+iy)(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(x\cos\alpha +y\sin\alpha )+i( -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
El complejo resultante tiene asociado al vector $$(x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
y eso es exactamente lo que se obtiene al aplicar la matriz de rotación qué expusimos al principio en el vector $(x,y)$.
Espero que te haya gustado este post, si es asi, compártelo!
VIDEO: Matrices de Rotación y Reflexión en el plano
NOTA: Acerca de la orientación, dibuja un triángulo en tu cuaderno, enumera los vértices. Después de girar tu triángulo te darás cuenta de que los vértices se siguen leyendo en el mismo orden y por eso se dice que las rotaciones conservan la orientacion. En cambio si le aplicas una reflexión, verás que el orden en el que se leen los vértices se invierte.
Pronto incorporare más dibujos para que sea más claro el tema :)
En el plano hay que escoger un punto que será el punto fijo y a este punto lo llamaremos el centro de rotación. Supongamos qué es el punto $P_0=(x_0,y_0)$. También hay que escoger un ángulo qué será el ángulo de rotación. Supongamos qué el ángulo deseado es $\alpha$. De notaremos la rotación con centro en $(x_0,y_0)$ y ángulo $\alpha$ como $$R_{P_0,\alpha}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R^2}$$
Para transformar un punto cualquiera del plano $P=(x,y)$ hay que trazar el segmento que une $(x,y)$ con $(x_0,y_0)$ y abrir el angulo $\alpha$ manteniendo fijo a $(x_0,y_0)$ como se muestra en el siguiente dibujo. El nuevo punto obtenido es la imagen de $(x,y)$ bajo la rotación $R_{P_0,\alpha}$, o bien $R_{P_0,\alpha}(P)$
- $AA^T=I$
- $det[A]=1$
Si una matriz de 2 por 2 cumple las condiciones antes enunciadas, entonces existe un número real $0\leq\alpha<2\pi$ tal que
$A=\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]$
y siguiendo la siguiente regla de aplicación encuentras la rotación de cualquier vector $(x,y)$
$\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= (x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$
Hay una manera de explicar de donde sale esta matriz utilizando números complejos. Vale la pena verla porque en la estructura compleja del plano, las rotaciones salen de una manera muy natural.
Primero hay que recordar que los números complejos se pueden expresar de varias formas, una es escribirlos como $z=a+ib$ pero también se pueden expresar por medio de su longitud, vistos como vectores y su ángulo. Checa el siguiente dibujo:
Observa que $a=|z|\cos\theta$ y $b=|z|\sin\theta$ Así que en lugar de escribir $a+ib$ podemos escribir $|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, es simplemente otra manera de expresar el mismo número complejo, pero que pasa si multiplicamos dos números complejos, sea $w=|w|(\cos\gamma+i\sin\gamma)$. Entonces $zw=|z||w|(\cos(\theta+\gamma)+i\sin(\theta+\gamma))$. Para demostrar esto último solo tienes que desarrollar el producto y utilizar las fórmulas del coseno y seno de la suma de ángulos. Lo importante es que al llegar a esta última fórmula puedes ver que hay un significado geométrico de la multiplicación de números complejos, ya que multiplicar es sumar los ángulos y multiplicar las longitudes de los vectores. Si lo piensas un poco te darás cuenta que sumar un ángulo fijo a todos los vectores, es en realidad una rotación qué deja fijo el origen. Para no alterar el tamaño de los vectores hace falta multiplicar por un complejo que tenga longitud 1, por ejemplo $\cos\gamma+i\sin\gamma$.
Ahora, como aplicamos todo esto en el plano? Considera un vector cualquiera $(x,y)$, a este vector le podemos asociar un único número complejo que es $x+iy$, para aplicarle una rotación de argumento $\alpha$ solo hay que multiplicarlo por el complejo unitario $\cos\alpha+i\sin\alpha$, lo que da como resultado:
$$(x+iy)(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(x\cos\alpha +y\sin\alpha )+i( -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
El complejo resultante tiene asociado al vector $$(x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
y eso es exactamente lo que se obtiene al aplicar la matriz de rotación qué expusimos al principio en el vector $(x,y)$.
Espero que te haya gustado este post, si es asi, compártelo!
VIDEO: Matrices de Rotación y Reflexión en el plano
NOTA: Acerca de la orientación, dibuja un triángulo en tu cuaderno, enumera los vértices. Después de girar tu triángulo te darás cuenta de que los vértices se siguen leyendo en el mismo orden y por eso se dice que las rotaciones conservan la orientacion. En cambio si le aplicas una reflexión, verás que el orden en el que se leen los vértices se invierte.
Pronto incorporare más dibujos para que sea más claro el tema :)
lunes, 29 de febrero de 2016
Simetrías en el plano 2 - Traslaciones
Hay dos maneras de representar y hacer cálculos de simetrías. Una es utilizando notación de transformaciones en el plano cartesiano, y la otra es usando los números complejos. Ambas son muy sencillas, sin embargo utilizar números complejos es una herramienta mucho más poderosa porque los números complejos en realidad son una estructura algebraica para el plano cartesiano.
El plano cartesiano lo representaremos como $\mathbb{R^2}$ y el plano complejo por medio de la letra $\mathbb{C}$.
A continuación escribiré una traslación usando las dos notaciones, tu decides cual te gusta mas.
Traslación - Es una transformación que consiste en sumar un vector fijo a cada punto del plano, geométricamente es pegar la misma flecha en cada punto.
En $\mathbb{R^2}$ es una transformación $T:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R^2}$
$$T(x,y)=(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x+x_0,y+y_0)$$ donde $(x_{0},y_{0})$ es un vector fijo en $\mathbb{R^2}$.
En $\mathbb{C}$ cada punto del plano se ve como un número complejo $x+iy$ donde $x$ y $y$ son números reales, $i$ es una unidad imaginaria qué tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a $-1$, es decir $i^2=-1$. Trasladar en el plano complejo es sumar un número complejo fijo a todos los demás números. En este caso consideremos el número $x_0+iy_0$ para que veas que prácticamente es lo mismo que hicimos en el plano cartesiano. Así que la transformación en este caso es $T:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ dada por la fórmula $$T(x+iy)=
(x+x_0)+i(y+y_0)$$
Observa que siempre puedes hacer una asociación entre puntos del plano y números complejos de la siguiente manera: $(x,y)\leftrightsquigarrow x+iy$
Ejercicios.
$(2,4)$, $(0,0)$, $\left(-3,\frac{1}{4}\right)$
$1+i$, $-i$, $6$
El plano cartesiano lo representaremos como $\mathbb{R^2}$ y el plano complejo por medio de la letra $\mathbb{C}$.
A continuación escribiré una traslación usando las dos notaciones, tu decides cual te gusta mas.
Traslación - Es una transformación que consiste en sumar un vector fijo a cada punto del plano, geométricamente es pegar la misma flecha en cada punto.
En $\mathbb{R^2}$ es una transformación $T:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R^2}$
$$T(x,y)=(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x+x_0,y+y_0)$$ donde $(x_{0},y_{0})$ es un vector fijo en $\mathbb{R^2}$.
En $\mathbb{C}$ cada punto del plano se ve como un número complejo $x+iy$ donde $x$ y $y$ son números reales, $i$ es una unidad imaginaria qué tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a $-1$, es decir $i^2=-1$. Trasladar en el plano complejo es sumar un número complejo fijo a todos los demás números. En este caso consideremos el número $x_0+iy_0$ para que veas que prácticamente es lo mismo que hicimos en el plano cartesiano. Así que la transformación en este caso es $T:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ dada por la fórmula $$T(x+iy)=
(x+x_0)+i(y+y_0)$$
Observa que siempre puedes hacer una asociación entre puntos del plano y números complejos de la siguiente manera: $(x,y)\leftrightsquigarrow x+iy$
Ejercicios.
- Encuentra la expresión en el plano cartesiano para la traslación por el vector $(2,-1)$
- Dibuja el vector de traslación en el plano.
- Encuentra la expresión compleja para la traslación por el número complejo $2-i$
- Calcula el resultado de aplicar esa misma traslación a los vectores siguientes:
$(2,4)$, $(0,0)$, $\left(-3,\frac{1}{4}\right)$
- Calcula el resultado de aplicar la traslación correspondiente en los números complejos siguientes:
$1+i$, $-i$, $6$
- Observa que los números reales también forman parte de los números complejos.
- Haz el dibujo resultante después de aplicar dicha traslación a partir del siguiente dibujo.
- Ejercicio. Comprueba que las traslaciones preservan las distancias.
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