Series de Fourier I

La serie de Fourier ofrece otra manera de aproximarse a cierta clase de funciones, conviene usarse para aproximar funciones que son periodicas. El conjunto de funciones continuas en un intervalo forma un espacio vectorial de dimensión infinita. Las series polinomiales y las series de Fourier son combinaciones lineales de bases infinitas. Si se conoce la función que se quiere aproximar, existen fórmulas qué nos dan los coeficientes de estas combinaciones. Pero en este ejemplo súper ultra sencillo, la idea es proponer una solución a una ecuación diferencial, de modo que no conocemos esos coeficientes y tenemos que deducir los al sustituir la serie en la ecuación diferencial y aplicar las condiciones iniciales. Espero que esté ejemplo te aporte una introducción amena a las Series de fourier y su aplicación en las ecuaciones diferenciales.

Simetrías en el plano 3 (Rotaciones)

Una rotación es una transformación qué deja fijo solo un punto en el plano, y conserva la orientación, y mantiene las distancias por eso es una isometria. A continuación te explico como se construye.

En el plano hay que escoger un punto que será el punto fijo y a este punto lo llamaremos el centro de rotación. Supongamos qué es el punto $P_0=(x_0,y_0)$. También hay que escoger un ángulo qué será el ángulo de rotación. Supongamos qué el ángulo deseado es $\alpha$. De notaremos la rotación con centro en $(x_0,y_0)$ y ángulo $\alpha$ como $$R_{P_0,\alpha}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R^2}$$


Para transformar un punto cualquiera del plano $P=(x,y)$ hay que trazar el segmento que une $(x,y)$ con $(x_0,y_0)$ y abrir el angulo $\alpha$ manteniendo fijo a $(x_0,y_0)$ como se muestra en el siguiente dibujo. El nuevo punto obtenido es la imagen de $(x,y)$ bajo la rotación $R_{P_0,\alpha}$, o bien $R_{P_0,\alpha}(P)$

Esto es la construcción geométrica de una rotación pero aún falta expresarla analiticamente. El caso más fácil es cuando el centro de rotación es el origen, o sea el punto $(0,0)$ en este caso cada rotación se puede escribir por medio de una matriz de 2 por 2. Todas las rotaciones en el plano tienen asociada una matriz cuadrada $A$ qué cumple dos propiedades:

• $AA^T=I$ 

Esto dice que la inversa de la matriz A es su matriz transpuesta. En el fondo esta identidad obliga a que la matriz preserve la norma de cada vector del plano, lo que obliga a que la transformación dada por A sea una isometria.

• $det[A]=1$  

Esta condición obliga a que la matriz transforme el plano de tal modo que se preserve la orientación.

Si una matriz de 2 por 2 cumple las condiciones antes enunciadas, entonces existe un número real $0\leq\alpha<2\pi$ tal que
 $A=\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]$

y siguiendo la siguiente regla de aplicación encuentras la rotación de cualquier vector $(x,y)$

$\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= (x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$

Hay una manera de explicar de donde sale esta matriz utilizando números complejos. Vale la pena verla porque en la estructura compleja del plano, las rotaciones salen de una manera muy natural.

Primero hay que recordar que los números complejos se pueden expresar de varias formas, una es escribirlos como  $z=a+ib$  pero también se pueden expresar por medio de su longitud, vistos como vectores y su ángulo.  Checa el siguiente dibujo:

Observa que $a=|z|\cos\theta$ y $b=|z|\sin\theta$ Así que en lugar de escribir $a+ib$ podemos escribir $|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, es simplemente otra manera de expresar el mismo número complejo, pero que pasa si multiplicamos dos números complejos, sea $w=|w|(\cos\gamma+i\sin\gamma)$. Entonces $zw=|z||w|(\cos(\theta+\gamma)+i\sin(\theta+\gamma))$. Para demostrar esto último solo tienes que desarrollar el producto y utilizar las fórmulas del coseno y seno de la suma de ángulos. Lo importante es que al llegar a esta última fórmula puedes ver que hay un significado geométrico de la multiplicación de números complejos, ya que multiplicar es sumar los ángulos y multiplicar las longitudes de los vectores. Si lo piensas un poco te darás cuenta que sumar un ángulo fijo a todos los vectores, es en realidad una rotación qué deja fijo el origen. Para no alterar el tamaño de los vectores hace falta multiplicar por un complejo que tenga longitud 1, por ejemplo $\cos\gamma+i\sin\gamma$.

Ahora, como aplicamos todo esto en el plano? Considera un vector cualquiera $(x,y)$, a este vector le podemos asociar un único número complejo que es $x+iy$, para aplicarle una rotación de argumento $\alpha$ solo hay que multiplicarlo por el complejo unitario $\cos\alpha+i\sin\alpha$, lo que da como resultado:
$$(x+iy)(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(x\cos\alpha +y\sin\alpha )+i( -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
El complejo resultante tiene asociado al vector $$(x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$

y eso es exactamente lo que se obtiene al aplicar la matriz de rotación qué expusimos al principio en el vector $(x,y)$.

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VIDEO: Matrices de Rotación y Reflexión en el plano

NOTA: Acerca de la orientación, dibuja un triángulo en tu cuaderno, enumera los vértices. Después de girar tu triángulo te darás cuenta de que los vértices se siguen leyendo en el mismo orden y por eso se dice que las rotaciones conservan la orientacion. En cambio si le aplicas una reflexión, verás que el orden en el que se leen los vértices se invierte.

Pronto incorporare más dibujos para que sea más claro el tema :)

Isometrías en el plano (Simetrías)

Las isometrías son las transformaciones que preservan las distancias, son más comunmente conocidas como SIMETRÍAS. Las conoce todo el mundo desde el kinder sin darse cuenta, aquí te las presento de una manera más formal, solo necesitas tener poquitas bases de geometría analítica, el plano cartesiano, coordenadas, y tal vez, ganas de dibujar y experimentar en tu cuaderno.

Hay 3 tipos de isometrías,  las analizaremos en el plano cartesiano $\mathbb{R}^{2}$ . Puedes comenzar dibujando el plano cartesiano en tu cuaderno.

Traslaciones

Trasladar es sumar un vector fijo $u\mapsto u+v_{0}$.

Las traslaciones no dejan fijo ningún punto, pero dejan invariantes todas las rectas paralelas al vector de traslación. Solo hay una traslación que deja todo el plano fijo, pero no tiene chiste porque esa traslación es sumar el vector $(0,0)$.

Rotaciones 

Consisten en dejar un punto fijo y a partir de ahi, trazar lineas hacia los puntos del plano, ahora en lugar de sumar un vector fijo, se suma un ángulo fijo. Las rotaciones más fáciles de manejar son aquellas que fijan el origen de coordenadas, es decir el punto $(0,0)$. En este caso se fija el origen de coordenadas y se suma un ángulo $\gamma$ a todas las flechas. Escribiendo en forma polar los vectores la traslación se expresa como: $r(cos\theta,sen\theta)\mapsto r(cos(\theta+\gamma),sen(\theta+\gamma) )$.

Las rotaciones solo dejan fijo un punto pero dejan invariantes todos los círculos con centro en ese punto. Hay una rotación que deja a todos los puntos del plano fijo, es la rotación trivial cuando el ángulo de rotación es cero, $\gamma=0$.
Las rotaciones se pueden representar en forma matricial, cada rotación tiene asociada una matriz cuadrada que está caracterizada por medio del ángulo de rotación. Las matrices de rotación tienen la característica de que su inversa es su transpuesta y tienen determinante 1.


La matriz de una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación $\theta$ en el plano es:

$\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right]$

Reflexiones 

Fijar una recta y cada punto mandarlo a su opuesto con respecto a la recta trazando la linea perpendicular a la recta que pasa por ese punto. Un ejemplo sencillo de reflexión por el eje Y sería $(x,y)\mapsto (-x,y) $

Observemos que las reflexiones dejan fijo el eje de reflexión y dejan invariantes a todas las rectas perpendiculares al eje de reflexión.

Las reflexiones invierten la orientación. Véase el siguiente dibujo.

Con esta información de las isometrías, podemos hacer un análisis muy parecido en el espacio de tres dimensiones $\mathbb{R}^{3}$ . Sabiendo aplicar las isometrías podemos hallar las parametrizaciones y ecuaciones de curvas transformadas por isometrías de traslación, rotación y reflexión. Las isometrías ayudan a encontrar las ecuaciones más sencillas (canónicas) de curvas y superficies.

Matrices de rotación y reflexión en el plano

Continúa en SIMETRÍAS DE TRASLACIÓN

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Les dejo un playlist de pura Geometría
https://www.youtube.com/playlist?list=PLW_W6Kqqwzr7DJLrPbLfOiQ8aeM_Ovxi7