Pensando en forma

Pensando en forma.
Es una platica con la que he participado en el Coloquio de Orientacion Matematica, que se esta realizando durante toda esta semana en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esta platica es apta para todo publico, no importa que no se dedique a algun area relacionada con matematicas.

En matemáticas una de las tareas es descubrir y aclarar las reglas del pensamiento correcto y eficiente. Es necesario que nuestro razonamiento esté en armonía con el universo para poder entender y deducir cosas.  Desde niños, antes de ir a la escuela aprendemos a pensar y abstraer, para ello utilizamos la experiencia y la intuición. Experimentamos el mundo físico, las restricciones de nuestro medio, descubrimos patrones, regularidades.

Ser matemático, es llevar este ejercicio hasta las últimas consecuencias.  En matemáticas es común inventar nuevos objetos hipotéticos que no tienen en principio realidad física, establecer reglas de interacción para jugar con estos objetos, y luego estudiar los patrones que aparecen en ese mundo abstracto inventado. Pero la verdad, en todos esos mundos abstractos de las matemáticas las reglas vienen del mundo físico, del sentido común.

El sentido común lo formamos experimentando el mundo físico. Ahora sabemos que mucho de ese sentido común está limitado por nuestro tamaño relativo a los demás objetos del cosmos.

En matemáticas, nos dedicamos a pensar, y hay tantas cosas en que pensar… Una de ellas es por ejemplo “la forma del universo”. Hubo alguien que pensaba mucho en eso. Se llamaba Henri Jules Poincaré.

Para poder hablar de eso primero nos tenemos que poner de acuerdo en qué entendemos por el universo.

La convención actual es que el universo es la variedad espacio tiempo más grande en la que está inmerso TODO, toda la materia y la energía que existió y existirá.  

Es importante incluir el tiempo en esa variedad, porque hoy se sabe que el espacio y el tiempo no son independientes, que una deformación en el espacio implica una deformación en el tiempo y viceversa.  Así que pensar en un espacio sin tiempo es un error. Estas son implicaciones de la teoría de la relatividad general, que también predice la existencia de ondas gravitacionales, que acaban de ser medidas experimentalmente apenas el año pasado 2016, 100 años después de que Einstein diera a conocer esta teoría.  Así que la tarea de pensar como pueden ver, tiene alcances realmente sorprendentes.

Les decía que Henri Jules Poincaré estaba obsesionado con el tema de “la forma del universo” y  fue padre de una de las ramas de la matemática que se llama “topología” (estudio de la forma). Sin salir de su cama pensaba en cómo podría abordar el estudio de  la forma del universo, para eso primero pensó en cómo caracterizar “la forma” de los objetos, como un concepto aparte de la métrica.

Es decir, mira un objeto y piensa en su forma quitándole importancia a sus medidas.  Es una buena idea porque nosotros como seres humanos difícilmente podríamos observar desde afuera algo semejante al universo, primero que nada porque es enorme, pero además el universo entrelaza el espacio y tiempo, y nosotros no tenemos libre desplazamiento en el tiempo. Y para emperorar las cosas, si pudiéramos salir del universo para contemplarlo entonces eso querría decir que ese no era el universo, por la misma convención que acabamos de hacer.

Poincaré comenzó desde lo más sencillo, así como haremos nosotros.

Ustedes se imaginaron la forma del universo alguna vez??  Yo, como tal vez muchos de ustedes, pensaba que se extendía infinitamente hacia cualquier dirección, no me parecía posible que tuviera una frontera, pensaba que cualquier pared o muro que me encontrara viajando en línea recta, podría romperlo y así continuar mi camino sobre la misma linea. Para comenzar a pensar en forma, debemos caracterizar distintas formas de las que ya conocemos muy bien, ponerles nombre, distinguir unas de otras. Así podemos comenzar a formalizar las ideas y explorar el tema de manera colectiva. Por ejemplo, cómo distinguirías una dona de una esfera?

Primeras clases de ecuaciones diferenciales

Probablemente nunca necesites unas clases de ecuaciones diferenciales, pero tal vez tienes algo de curiosidad acerca de que se trata el tema. Si es asi, te puedo platicar un poquito de que es una ecuación diferencial

esto es lo que yo diría en una primera clase...

Una ecuacion diferencial es una ecuación donde aparecen relacionadas funciones y sus derivadas, las incógnitas en este caso son las funciones. Sabiendo esto ya puedes inventar muchas ecuaciones, con funciones de una variable o de muchas variables, si tus funciones son de muchas variables tendrás que usar derivadas parciales, aquí aparece la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones parciales vs Ecuaciones ordinarias. Obviamente las ecuaciones parciales son mucho más difíciles de resolver.

De donde salieron las ecuaciones diferenciales?
Las ecuaciones diferenciales aparecen en la modelacion de fenómenos fisicos, ya que la derivada de una funcion se interpreta como una razón de cambio instantánea de la funcion, por ejemplo, la derivada de la función que determina la posición de una partícula en el tiempo, es la velocidad, y la derivada de la velocidad, es la aceleracion. Se usan en fisica, biologia, química y sistemas complejos por ejemplo para modelar el clima, y hay audaces intentos de usarlas para estudiar movimientos sociales. Una vez un amigo hizo una ecuación diferencial del amor, tomando en cuenta la dinámica de encuentros entre individuos en la escuela :S. Bueno regresando al tema...

Si solo es una variable, entonces estamos hablando de ecuaciones diferenciales ordinarias, y aquí aparece una segunda clasificación, según sea el máximo orden de la derivada que aparezca en la ecuación, así que tenemos ecuaciones de primer orden, segundo orden, etc. De todas las ecuaciones que se te puedan ocurrir, solo muy pocas tendrán solución , en los cursos de ecuaciones se enseñan los métodos que se han descubierto para resolver algunas ecuaciones de las más sencillas (ordinarias y parciales). Como te puedes imaginar, las ecuaciones parciales requieren mucho más trabajo, así que hay cursos más avanzados para tratar estas ecuaciones.

Como las funciones incógnitas aparecen derivadas, será imprescindible calcular integrales, así que este curso requiere que hayas estudiando cálculo diferencial e integral.

Cuando las ecuaciones no se pueden resolver facil por algún método conocido, se usan otros métodos para aproximar las soluciones alrededor de algún punto, y estos métodos pueden estar basados en usar series de potencias, series de fourier (para buscar soluciones periodicas).
En la práctica estos métodos de aproximación sirven para hacer programas de computadora que ofrezcan aproximaciones con un margen de error deseado.

El método más elemental para resolver las ecuaciones de primer orden más sencillas se llama Separación de variables

este método es el más basico, al final de casi cualquier ejercicio, se llega a una ecuación separable. Espero que este post te haya gustado, si es asi, no dudes en compartirlo y en suscribirte a mi blog y a mi canal de youtube. Sugiere tus temas, comenta!

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...después de todo este rollo solo queda bailar alegremente y presumir lo que acabas de aprender :D

Resolver ecuaciones diferenciales por medio de series

El método de resolver ecuaciones diferenciales por medio de series es uno de los métodos que sirven en la mayoría de ocasiones. Recuerda que para la mayoría de las ecuaciones diferenciales qué te puedas inventar, no existe un método de solución garantizado. Pero siempre puedes intentarlo con series.

La forma más general de una serie de potencias es la siguiente;

$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
donde $x_0$ es el punto alrededor del cual se construye la serie.
 Después hay que derivar la serie termino a término

$$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n n(x-x_0)^{n-1}$$
$$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$$
y así sucesivamente...
y sustituir en la ecuación diferencial dada para encontrar una regla de recurrencia para los coeficientes de la serie, o sea los $a_n$. Recuerda que no podrás determinarlos todos porque en algunos casos la solución general queda en términos de una o más constantes libres, puesto que las soluciones en muchos casos forman espacios vectoriales. Eso es lo que pasará en los ejemplos que te presento a continuación, que son ecuaciones de segundo orden.

Uno de los problemas que tendrás que enfrentar es decidir alrededor de qué punto vas a desarrollar la serie. Puede que la solución en caso de que exista no esté definida en todo punto. Aquí te dejo un ejemplo donde eso sucede porque la solución es una función de tipo logaritmo y en ese caso es imprescindible escoger bien el punto alrededor del cual desarrollar la serie.  Te comparto unos videos espero que te sean de gran utilidad.

 Por último te presento un ejemplo bien sencillito con Series de Fourier, qué más bien se usan en ecuaciones diferenciales parciales pero este ejemplo me pareció muy bueno para introducirlas de manera más accesible. Aquí no tienes una serie de potencias, sino una serie construida con senos y cosenos, con estas funciones nos podemos aproximar más fácil a las funciones que son periodicas.

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Series de Fourier I

La serie de Fourier ofrece otra manera de aproximarse a cierta clase de funciones, conviene usarse para aproximar funciones que son periodicas. El conjunto de funciones continuas en un intervalo forma un espacio vectorial de dimensión infinita. Las series polinomiales y las series de Fourier son combinaciones lineales de bases infinitas. Si se conoce la función que se quiere aproximar, existen fórmulas qué nos dan los coeficientes de estas combinaciones. Pero en este ejemplo súper ultra sencillo, la idea es proponer una solución a una ecuación diferencial, de modo que no conocemos esos coeficientes y tenemos que deducir los al sustituir la serie en la ecuación diferencial y aplicar las condiciones iniciales. Espero que esté ejemplo te aporte una introducción amena a las Series de fourier y su aplicación en las ecuaciones diferenciales.

Ecuación de Ricatti

La ecuación de Ricatti fue inventada estudiando la dinámica de fluidos, hay dos propuestas para resolverla, una desarrollada por Bernoulli y otra propuesta por Euler, en este video expongo la técnica desarrollada por Bernoulli, mediante dos cambios de variable, se transforma primero en una ecuación de Bernoulli, y luego en una ecuación lineal. También resuelvo un ejemplo de principio a fin con todos sus cambios de variable Recuerda que para resolverla por completo se necesita conocer una solución particular. Espero que te sirva este video.

También te puede interesar el tema del Carbono 14 :)








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Proyección ortogonal

Dados dos vectores en $u,v \in\mathbb{R}^{n}$ se define la proyeccion ortogonal de $v$ sobre $u$ como el vector $w=v-\frac{<u,v>}{\|u\|^{2}}u$.

El vector $w$ tiene la propiedad de ser ortogonal a $u$ para comprobarlo hay que calcular el producto punto de $u$ con $w$.

$<w,u>=<v,u>-\frac{<v,v>}{\|u\|^{2}}\|u\|^{2}=<u,v>-<u,v>=0$







Apuntes originales :)

Resolver ecuaciones diferenciales por series de potencias

Estoy muy contenta de presentarte mi último video! Es un ejemplo desarrollado de principio a fin acerca de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales por medio de series de potencias. Estoy trabajando en ofrecer cada vez mejor material, con contenidos que sean de interés para ti. Que sean cada vez más claros y visualmente amables. No dejes de visitar mi canal de Youtube.

 

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Simetrías en el plano 3 (Rotaciones)

Una rotación es una transformación qué deja fijo solo un punto en el plano, y conserva la orientación, y mantiene las distancias por eso es una isometria. A continuación te explico como se construye.

En el plano hay que escoger un punto que será el punto fijo y a este punto lo llamaremos el centro de rotación. Supongamos qué es el punto $P_0=(x_0,y_0)$. También hay que escoger un ángulo qué será el ángulo de rotación. Supongamos qué el ángulo deseado es $\alpha$. De notaremos la rotación con centro en $(x_0,y_0)$ y ángulo $\alpha$ como $$R_{P_0,\alpha}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R^2}$$


Para transformar un punto cualquiera del plano $P=(x,y)$ hay que trazar el segmento que une $(x,y)$ con $(x_0,y_0)$ y abrir el angulo $\alpha$ manteniendo fijo a $(x_0,y_0)$ como se muestra en el siguiente dibujo. El nuevo punto obtenido es la imagen de $(x,y)$ bajo la rotación $R_{P_0,\alpha}$, o bien $R_{P_0,\alpha}(P)$

Esto es la construcción geométrica de una rotación pero aún falta expresarla analiticamente. El caso más fácil es cuando el centro de rotación es el origen, o sea el punto $(0,0)$ en este caso cada rotación se puede escribir por medio de una matriz de 2 por 2. Todas las rotaciones en el plano tienen asociada una matriz cuadrada $A$ qué cumple dos propiedades:

• $AA^T=I$ 

Esto dice que la inversa de la matriz A es su matriz transpuesta. En el fondo esta identidad obliga a que la matriz preserve la norma de cada vector del plano, lo que obliga a que la transformación dada por A sea una isometria.

• $det[A]=1$  

Esta condición obliga a que la matriz transforme el plano de tal modo que se preserve la orientación.

Si una matriz de 2 por 2 cumple las condiciones antes enunciadas, entonces existe un número real $0\leq\alpha<2\pi$ tal que
 $A=\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]$

y siguiendo la siguiente regla de aplicación encuentras la rotación de cualquier vector $(x,y)$

$\left[ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right]\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= (x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$

Hay una manera de explicar de donde sale esta matriz utilizando números complejos. Vale la pena verla porque en la estructura compleja del plano, las rotaciones salen de una manera muy natural.

Primero hay que recordar que los números complejos se pueden expresar de varias formas, una es escribirlos como  $z=a+ib$  pero también se pueden expresar por medio de su longitud, vistos como vectores y su ángulo.  Checa el siguiente dibujo:

Observa que $a=|z|\cos\theta$ y $b=|z|\sin\theta$ Así que en lugar de escribir $a+ib$ podemos escribir $|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, es simplemente otra manera de expresar el mismo número complejo, pero que pasa si multiplicamos dos números complejos, sea $w=|w|(\cos\gamma+i\sin\gamma)$. Entonces $zw=|z||w|(\cos(\theta+\gamma)+i\sin(\theta+\gamma))$. Para demostrar esto último solo tienes que desarrollar el producto y utilizar las fórmulas del coseno y seno de la suma de ángulos. Lo importante es que al llegar a esta última fórmula puedes ver que hay un significado geométrico de la multiplicación de números complejos, ya que multiplicar es sumar los ángulos y multiplicar las longitudes de los vectores. Si lo piensas un poco te darás cuenta que sumar un ángulo fijo a todos los vectores, es en realidad una rotación qué deja fijo el origen. Para no alterar el tamaño de los vectores hace falta multiplicar por un complejo que tenga longitud 1, por ejemplo $\cos\gamma+i\sin\gamma$.

Ahora, como aplicamos todo esto en el plano? Considera un vector cualquiera $(x,y)$, a este vector le podemos asociar un único número complejo que es $x+iy$, para aplicarle una rotación de argumento $\alpha$ solo hay que multiplicarlo por el complejo unitario $\cos\alpha+i\sin\alpha$, lo que da como resultado:
$$(x+iy)(\cos\alpha+i\sin\alpha)=(x\cos\alpha +y\sin\alpha )+i( -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$
El complejo resultante tiene asociado al vector $$(x\cos\alpha +y\sin\alpha , -x\sin\alpha +y\cos\alpha )$$

y eso es exactamente lo que se obtiene al aplicar la matriz de rotación qué expusimos al principio en el vector $(x,y)$.

Espero que te haya gustado este post, si es asi, compártelo!

VIDEO: Matrices de Rotación y Reflexión en el plano

NOTA: Acerca de la orientación, dibuja un triángulo en tu cuaderno, enumera los vértices. Después de girar tu triángulo te darás cuenta de que los vértices se siguen leyendo en el mismo orden y por eso se dice que las rotaciones conservan la orientacion. En cambio si le aplicas una reflexión, verás que el orden en el que se leen los vértices se invierte.

Pronto incorporare más dibujos para que sea más claro el tema :)