lunes, 23 de mayo de 2016

Forma de Jordan de una matriz



La forma de Jordan de una matriz es un recurso de álgebra lineal que es muy útil para ahorrarse muchos cálculos. Sin embargo aprenderla causa mucha confusión porque para cada dimensión surgen más y más casos. En este video - post, trataré de explicarte los aspectos más importantes para que puedas utilizar la forma de Jordan sin tener que pasar horas en un libro. Pero si necesitas conocimientos básicos de álgebra lineal para este post.

Comenzamos con una matriz cuadrada con coeficientes reales, como esta

$A=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$

En general para cualquier numero natural $n$ la matriz se vería así

$A=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\
\vdots & \ldots & \ldots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
 \end{array} \right]$

La forma de Jordan de una matriz, tiene 2 casos:
  1. Es una matriz diagonal
  2. Es la suma de una matriz diagonal con una matriz nilpotente.

Nilpotente - Se dice que $N$ es una matriz nilpotente si existe alguna $k\in\mathbb{Z}$ tal que $N^{k}=0$. Es decir que a partir de la potencia $k$ todas las potencias de la matriz N se anulan, se vuelven la matriz cero.

La forma de Jordan de una matriz se obtiene por medio de un cambio de base. Recuerda  que cada matriz tiene asociada una transformación lineal, en este caso $A$ tiene asociada una transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$. Observa que dicha transformación transforma los vectores canónicos $e_{1}$ y $e_{2}$ en los vectores columna de la matriz $A$. Haz tu comprobación.

Pero si hacemos un cambio de base $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$, esa misma transformación tiene asociada una matriz diferente en la base nueva $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$. La idea es encontrar a las $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ tales que la nueva matriz sea lo mas sencilla posible, o sea, la forma de Jordan de $A$.

El cambio de base. Sea $P$ la matriz que tiene como columnas a los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$, esa matriz al aplicarla en los vectores canonicos hace lo siguiente:

$Pe_{1}=\alpha_{1}$
$Pe_{2}=\alpha_{2}$

Ese es el cambio de base, y si los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ se escogieron debidamente,  la forma de Jordan de $A$ se calcula de la siguiente manera.

$J=P^{-1}AP$

Ahora te explico como encontrar los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ para calcular la forma de Jordan.

Recuerda que en el caso de que $A$ sea una matriz de $n\times n$ necesitarás $n$ vectores para formar una base.

VECTORES Y VALORES PROPIOS

Primero buscamos los vectores y valores propios de la matriz $A$. Recuerda que $u$ es vector propio de $A$ si existe un numero real $\lambda$ tal que $Au=\lambda u$, en caso de que exista $\lambda$ se llama valor propio de $A$ asociado al vector $u$.

Para encontrar los vectores y valores propios observa que la ecuación anterior se puede escribir de diferente modo:
$Au=\lambda u$
$Au-\lambda u$
$(A-\lambda I) u=\bar 0$

donde $I$ es la matriz identidad, y le puse barrita al cero para que observes que es el vector cero, no el numero cero.

Esta ultima ecuación da lugar a un sistema de ecuaciones, una ecuación por cada coordenada de $u$. Si $u\in\mathbb{R}^{2}$ son dos ecuaciones, si $u\in\mathbb{R}^{n}$ son $n$ ecuaciones. Ese sistema tiene soluciones no triviales, siempre y cuando su determinante sea cero.

Al calcular el determinante $|A-\lambda I|$ e igualarlo a cero, obtendrás una ecuación de grado $n$. Las soluciones de esa ecuación son los valores propios. Esta ecuación se llama polinomio característico.

$|A-\lambda I|=0$

Una vez que encontraste a los valores propios, hay que encontrar a los vectores propios correspondientes. Esto se hace sustituyendo cada uno de los valores propios en la ecuacion $(A-\lambda I) u=\bar 0$  y resolver para las coordenadas de $u$.

Por cada valor propio, vas a obtener por lo menos un vector propio, pero a veces puedes obtener mas de uno.

Si al final de este proceso encontraste exactamente $n$ vectores propios, estás de suerte porque  con esos se forma una base. Esa es la base que necesitas para encontrar la forma de Jordan, por medio de la formula $J=P^{-1}AP$, donde $P$ se forma con los vectores que encontraste puestos como columnas. Observa la siguiente cadena de composiciones.

$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto &   \alpha_{1} &    \mapsto   &   \lambda_{1}\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1} e_{1}  \\
 e_{2} & \mapsto &   \alpha_{2} & \mapsto     & \lambda_{2}\alpha_{2}& \mapsto & \lambda_{2}e_{2}\\
 \vdots & \mapsto &   \vdots            & \mapsto    & \vdots &  \mapsto &  \vdots\\
 e_{n} &  \mapsto &    \alpha_{n} &  \mapsto    &\lambda_{n}\alpha_{n} &   \mapsto &  \lambda_{n}e_{n}
\end{array}$

Los numeros $\lambda_{k}$ pueden aparecer repetidos.
Si te fijas solamente en el principio y final de cada cadena veras que $e_{k}$ se va a $\lambda_{k}e_{k}$, eso es lo que hace la composicion $P^{-1}AP$ y por lo tanto la matriz asociada a esa composicion es la siguiente:

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_{2}& \ldots & 0 \\
\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]$


Es una matriz diagonal.

Pero si no encuentras una base de vectores propios, hay que terminar de formar la base con vectores propios generalizados.

VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS

Un vector propio generalizado es un vector que casi es propio. Supongamos que el valor propio $\lambda_{1}$ aparecio como raiz de multiplicidad 3 del polinomio caracteristico. Pero solo pudiste encontrar 1 vector propio $\alpha_{1}$ con ese valor. Entonces necesitaras encontrar 2 vectores propios generalizados para que se complete la multiplicidad 3. Buscaras $\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ que cumplan lo siguiente:
 

$\alpha_{2}\mapsto \lambda_{1}\alpha_{2}+ \alpha_{1} $
$\alpha_{3}\mapsto \lambda_{1}\alpha_{3}+ \alpha_{2} $

y ahora mira lo que sucedera con la composicion  $P^{-1}AP$

$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto &   \alpha_{1} &    \mapsto   &   \lambda_{1}\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1} e_{1}  \\
 e_{2} & \mapsto &   \alpha_{2} & \mapsto     & \lambda_{1}\alpha_{2}+\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1}e_{2}+e_{1}\\
 e_{3} & \mapsto &   \alpha_{3} & \mapsto     & \lambda_{1}\alpha_{3}+\alpha_{2}& \mapsto & \lambda_{1}e_{3}+e_{2}\\

 \vdots & \mapsto &   \vdots            & \mapsto    & \vdots &  \mapsto &  \vdots\\
 e_{n} &  \mapsto &    \alpha_{n} &  \mapsto    &\lambda_{n}\alpha_{n} &   \mapsto &  \lambda_{n}e_{n}
\end{array}$

Las flechitas significan "mapeo", $e_{1}\stackrel {P}{\mapsto}\alpha_{1}$ significa que $Pe_{1}=\alpha_{1}$ pero lo escribo asi para poder ilustrar toda la composicion que se necesita hacer para llegar a la forma de Jordan.

Otra vez observa el principio y final de las primeras 3 cadenas, tenemos que

$e_{1}\mapsto \lambda_{1}e_{1}$
$e_{2}\mapsto \lambda_{1}e_{2}+e_{1}$
$e_{3}\mapsto\lambda_{1}e_{3}+e_{2}$


entonces la matriz $J$ ahora se ve del modo siguiente:

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  1 & 0\ldots & 0 \\
0 & \lambda_{1}&1 & \ldots 0 \\
0 & 0 &  \lambda_{1}& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]$

Observa que se puede descomponer en la siguiente suma

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  0 & 0\ldots & 0 \\
0 & \lambda_{1}& 0  & \ldots 0 \\
0 & 0 &  \lambda_{1}& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]+\left[
\begin{array}{cccc}
0 &  1 & 0\ldots & 0 \\
0 & 0 &1 & \ldots 0 \\
0 & 0 & 0& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0
 \end{array}
\right]
$

La primera matriz es diagonal, y la segunda matriz que tiene ceros en la diagonal y abajo de ella, es nilpotente.

Acabas de ver como surge un bloque de Jordan, ese bloque donde aparece el mismo valor propio y arriba algunos 1.

Seguramente te has dado cuenta de que van a aparecer muchísimos casos de acuerdo a las multiplicidades de los valores propios que encuentres. Por ejemplo si encuentras un valor propio de multiplicidad 4, puede que existan 2 vectores propios asociados a él y tengas que calcular dos generalizados, ó puedes encontrar 3 vectores propios y buscar un generalizado, comienza a construir tus ejemplos, experimenta, es la mejor forma de aprender!

Te dejo un video donde abordamos el caso cuando la matriz tiene valores propios reales.








VALORES PROPIOS COMPLEJOS

Para analizar este caso basta considerar una matriz de $2\times 2$ Como es una matriz de coeficientes reales, su polinomio caracteristico es un polinomio real de grado 2, al encontrar una raiz compleja $\alpha+i\beta$, automaticamente sabes que su conjugado tambien es raiz $\alpha-i\beta$ y son las unoicas dos raices del polinomio caracteristico. Entonces tendras que encontrar su vector propio asociado, que tambien resultara ser un vector propio complejo $u+iv$, donde $u,v\in\mathbb{R}^ 2$. En este caso el cambio de base es el siguiente:
$e_{1}\mapsto u$, $e_{2}\mapsto v$, la matriz de cambio de base es $P=(u\vert v)$ y al final la composicion $P^ {-1}AP$ actua de la siguiente manera:
$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto & u &    \mapsto   &  \alpha u -\beta v & \mapsto &  \alpha e_{1}-\beta e_{2}  \\
e_{2} & \mapsto &   v & \mapsto  &    \beta u +\alpha v  & \mapsto & \beta e_{1}+\alpha e_{2}  \\

\end{array}$

Al final te queda la matriz:

$P^ {-1}AP=\left[
\begin{array}{cc}
\alpha &  \beta \\
-\beta & \alpha

 \end{array}
\right]$
y esta es la forma de Jordan en el caso complejo de $2\times 2$, en el siguiente video te explico todo con mucho mas detalles...




Aqui te dejo un ejemplo donde se usa la forma de Jordan de una matriz en sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.


Si te ha gustado este post, compártelo! Suscribete a mi blog y a mi canal de YouTube, sugiere tus temas, no dudes en escribir tus comentarios.





1 comentario:

Me interesa conocer tus sugerencias, déjame un comentario.