Ideas para combatir el estrés durante la cuarentena

Si quieres escuchar estas ideas en lugar de leer, aquí está mi podcast.

Evita el estrés durante la contingencia de covid19!

Conforme avanza el tiempo en cuarentena el estrés aflora, algunas personas no toleran mucho el encierro, otras no pueden dejar de pensar en el riesgo de contraer el virus, y otros más están presionados por su situación económica. Mil veces hemos escuchado que preocuparnos no resuelve los problemas, y en estos casos, la preocupación puede llegar a ser paralizante. Por eso me parece útil enlistar unos tips para evitar llegar a un estrés que nos pueda perjudicar o causar episodios de ansiedad.

1. Infórmate solo lo necesario. No leas o escuches noticias durante todo el santo día. En estos momentos el 80% de las noticias tienen que ver con el mismo tema y no te vas a enterar de nada nuevo cada 10 minutos. No permitas que este tema secuestre tu mente. No permitas que el internet, la tele o el radio secuestren tu mente!
2. Haz ejercicio. Aunque no tengas posibilidades de salir a correr o al gym, en casa puedes hacer otras variedades de ejercicio, es muy recomendable el ejercicio aeróbico, puedes encerrarte un ratito en la habitación y bailar. O si eres desinhibido bailar en la sala tu música favorita. Hubo un tiempo que yo lo hacía con las coreografías de Beyonce y Michael Jackson frente al espejo, era muy divertido y me sentía muy a gusto después. También hay sesiones de yoga en youtube que te pueden ayudar a relajarte y sentirte mejor en todo sentido.
3. Canta en la ducha. Es una de las actividades más desestresantes que puede haber, además sube tu autoestima, cantar te conecta mejor con la música y con la vida.
4. Deshazte de lo que no usas. Puedes usar este tiempo también para hacer una limpieza de cosas. Puede ser ropa, utensilios viejos, documentos, aparatos que ya no sirven, etc, cada quien sabe qué se le acumula más con el tiempo. Esto te dará más espacio y te hará sentir más libre. Además a veces sucede que lo que nosotros ya no utilizamos para otras personas puede ser un tesoro.
5. Arregla los desperfectos. Tal vez tienes un par de cosas pendientes de reparar o algún mantenimiento que dejaste para después, ahora puedes hacerlo.
6. Vence la flojera de empezar las sugerencias anteriores. Esto es un ejercicio muy positivo para fortalecer tu carácter. Las cosas de arriba son buenas ideas pero a veces te lo piensas mucho para llevar a cabo cualquier cosa. Oblígate! Verás como poco a poco te sentirás más satisfecho!
7. Si eres muy sociable, haz videoconferencia con tu familia y amigos, evita los mensajes de texto. Los mensajes de texto suelen ser malinterpretados porque el emisor y receptor no comparten la misma circunstancia y clima emocional como cuando se comunican cara a cara y porque no verse cara a cara les priva de gran parte del mensaje que se expresa por medio del lenguaje corporal. Hoy se sabe que es más la información que se toma de esta fuente que de las palabras. Y además existe una tendencia a interpretar negativamente los mensajes de texto.
8. Mira películas inspiradoras. Que te alienten a realizar proyectos positivos en los que puedas aprovechar tus talentos naturales y tu vocación.
9. Aprende un idioma. Para esto puedes entrar a los cursos gratuitos que se ofrecen por internet y también lo puedes hacer en DUOLINGO.
10. Escribe la historia de tu vida o de algún episodio de tu vida que te gustaría compartir a los demás. Piensa cómo te gustaría ser recordado.
11. Fomenta la tolerancia entre los tuyos. En estos momentos quizá estás conviviendo mucho más de lo que usualmente lo haces con tu familia, esto puede llegar a ser muy estresante si la dinámica familiar no es sana. Promueve una dinámica sana! No discutas por diferencias políticas, religiosas, no vale la pena nada de esto por encima de tus seres cercanos.
12. Dibuja, escribe un cuento de ficción, haz música, las artes es lo mejor en lo que puedes emplear el tiempo, no tienes porqué ser profesional en el área, inténtalo es entretenimiento sano!
13. Si eres estudiante y no entiendes el material que te están mandando para trabajar a distancia, busca otros libros, siempre recomiendo esto a mis alumnos porque estoy segura que hay un libro al que le vas a entender muy bien! Solo persevera y lo vas a lograr.
14. Programa tus actividades. La discliplina es tu aliada. Te ayudará  a lograr tus objetivos.
15. Ríe al final del día. Puedes ver videos humorísticos, o contar chistes con tu familia pero es muy bueno reír antes de ir a dormir. Te prepara para un buen descanso y hasta soñar cosas agradables.
16. Pasa tiempo con tus animales de compañía, deja que te aporten su energía positiva y que tengan un impacto en tu vida, no te arrepentirás.

Yo misma debo aplicar ésta última sugerencia en lugar de andar viendo películas de terror, luego por eso tengo pesadillas. Cuando veo cosas cómicas y río sin parar descanso mucho mejor.

Mensaje subversivo. Tal vez te están llenando de tareas, y al estrés de la incertidumbre se suma el estrés de las tareas. Recuerda que todo lo que te pidan ahorita es extraoficial y si te sientes incómodo con eso, no lo hagas! Toma el control de tu vida y de tu mente. Dale a tu familia la importancia que merece, tienes una vida, mereces la paz y la tranquilidad en tu interior, no permitas que nadie te arrebate eso. No te pueden obligar a seguir tus estudios en línea si eres estudiante. Si eres profesor tampoco te pueden obligar a continuar tus cursos en línea, para eso tendrían que financiarte un equipo adecuado y la conexión a internet.

En estos días trata de ponerte en el lugar de las demás personas para que entiendas mejor cómo funciona el mundo y por qué las personas a tu alrededor toman ciertas decisiones. Tus padres, tus maestros, tus hermanos y vecinos pueden pensar tan diferente a ti porque tienen otras prioridades y han vivido circunstancias diferentes a ti. Trata de comprender. La solidaridad en los próximos días será muy importante, tal vez la necesitaremos más que cuando ha habido sismos, lo pienso por la situación económica de mucha gente.

No olvides poner tus sugerencias en los comentarios en YouTube o en este blog. Compartir este post a quienes creas que puede ser útil.  Un saludo grande a todos donde quiera que estén!

Soy Rocío Azul, Maestra en Ciencias Matemáticas, profesora de asignatura en la Universisdad Autónoma de México

La ecuación de la elipse

En este video te explicaré de donde sale la ecuación canónica de la elipse que encuentras en los libros de geometría analítica. Aunque no es la elipse más general que se puede considerar, sí se puede obtener cualquier otra elipse aplicando transformaciones de rotación, traslación y homotecia. Espero que sea de tu agrado este trabajo.

Forma de Jordan de una matriz

La forma de Jordan de una matriz es un recurso de álgebra lineal que es muy útil para ahorrarse muchos cálculos. Sin embargo aprenderla causa mucha confusión porque para cada dimensión surgen más y más casos. En este video - post, trataré de explicarte los aspectos más importantes para que puedas utilizar la forma de Jordan sin tener que pasar horas en un libro. Pero si necesitas conocimientos básicos de álgebra lineal para este post.

Comenzamos con una matriz cuadrada con coeficientes reales, como esta

$A=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$

En general para cualquier numero natural $n$ la matriz se vería así

$A=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\
\vdots & \ldots & \ldots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
 \end{array} \right]$

La forma de Jordan de una matriz, tiene 2 casos:

1. Es una matriz diagonal
2. Es la suma de una matriz diagonal con una matriz nilpotente.

Nilpotente - Se dice que $N$ es una matriz nilpotente si existe alguna $k\in\mathbb{Z}$ tal que $N^{k}=0$. Es decir que a partir de la potencia $k$ todas las potencias de la matriz N se anulan, se vuelven la matriz cero.

La forma de Jordan de una matriz se obtiene por medio de un cambio de base. Recuerda  que cada matriz tiene asociada una transformación lineal, en este caso $A$ tiene asociada una transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$. Observa que dicha transformación transforma los vectores canónicos $e_{1}$ y $e_{2}$ en los vectores columna de la matriz $A$. Haz tu comprobación.

Pero si hacemos un cambio de base $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$, esa misma transformación tiene asociada una matriz diferente en la base nueva $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$. La idea es encontrar a las $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ tales que la nueva matriz sea lo mas sencilla posible, o sea, la forma de Jordan de $A$.

El cambio de base. Sea $P$ la matriz que tiene como columnas a los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$, esa matriz al aplicarla en los vectores canonicos hace lo siguiente:

$Pe_{1}=\alpha_{1}$
$Pe_{2}=\alpha_{2}$

Ese es el cambio de base, y si los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ se escogieron debidamente,  la forma de Jordan de $A$ se calcula de la siguiente manera.

$J=P^{-1}AP$

Ahora te explico como encontrar los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ para calcular la forma de Jordan.

Recuerda que en el caso de que $A$ sea una matriz de $n\times n$ necesitarás $n$ vectores para formar una base.

VECTORES Y VALORES PROPIOS

Primero buscamos los vectores y valores propios de la matriz $A$. Recuerda que $u$ es vector propio de $A$ si existe un numero real $\lambda$ tal que $Au=\lambda u$, en caso de que exista $\lambda$ se llama valor propio de $A$ asociado al vector $u$.

Para encontrar los vectores y valores propios observa que la ecuación anterior se puede escribir de diferente modo:
$Au=\lambda u$
$Au-\lambda u$
$(A-\lambda I) u=\bar 0$

donde $I$ es la matriz identidad, y le puse barrita al cero para que observes que es el vector cero, no el numero cero.

Esta ultima ecuación da lugar a un sistema de ecuaciones, una ecuación por cada coordenada de $u$. Si $u\in\mathbb{R}^{2}$ son dos ecuaciones, si $u\in\mathbb{R}^{n}$ son $n$ ecuaciones. Ese sistema tiene soluciones no triviales, siempre y cuando su determinante sea cero.

Al calcular el determinante $|A-\lambda I|$ e igualarlo a cero, obtendrás una ecuación de grado $n$. Las soluciones de esa ecuación son los valores propios. Esta ecuación se llama polinomio característico.

$|A-\lambda I|=0$

Una vez que encontraste a los valores propios, hay que encontrar a los vectores propios correspondientes. Esto se hace sustituyendo cada uno de los valores propios en la ecuacion $(A-\lambda I) u=\bar 0$  y resolver para las coordenadas de $u$.

Por cada valor propio, vas a obtener por lo menos un vector propio, pero a veces puedes obtener mas de uno.

Si al final de este proceso encontraste exactamente $n$ vectores propios, estás de suerte porque  con esos se forma una base. Esa es la base que necesitas para encontrar la forma de Jordan, por medio de la formula $J=P^{-1}AP$, donde $P$ se forma con los vectores que encontraste puestos como columnas. Observa la siguiente cadena de composiciones.

$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto &   \alpha_{1} &    \mapsto   &   \lambda_{1}\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1} e_{1}  \\
 e_{2} & \mapsto &   \alpha_{2} & \mapsto     & \lambda_{2}\alpha_{2}& \mapsto & \lambda_{2}e_{2}\\
 \vdots & \mapsto &   \vdots            & \mapsto    & \vdots &  \mapsto &  \vdots\\
 e_{n} &  \mapsto &    \alpha_{n} &  \mapsto    &\lambda_{n}\alpha_{n} &   \mapsto &  \lambda_{n}e_{n}
\end{array}$

Los numeros $\lambda_{k}$ pueden aparecer repetidos.
Si te fijas solamente en el principio y final de cada cadena veras que $e_{k}$ se va a $\lambda_{k}e_{k}$, eso es lo que hace la composicion $P^{-1}AP$ y por lo tanto la matriz asociada a esa composicion es la siguiente:

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_{2}& \ldots & 0 \\
\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]$


Es una matriz diagonal.

Pero si no encuentras una base de vectores propios, hay que terminar de formar la base con vectores propios generalizados.

VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS

Un vector propio generalizado es un vector que casi es propio. Supongamos que el valor propio $\lambda_{1}$ aparecio como raiz de multiplicidad 3 del polinomio caracteristico. Pero solo pudiste encontrar 1 vector propio $\alpha_{1}$ con ese valor. Entonces necesitaras encontrar 2 vectores propios generalizados para que se complete la multiplicidad 3. Buscaras $\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ que cumplan lo siguiente:
 

$\alpha_{2}\mapsto \lambda_{1}\alpha_{2}+ \alpha_{1} $
$\alpha_{3}\mapsto \lambda_{1}\alpha_{3}+ \alpha_{2} $

y ahora mira lo que sucedera con la composicion  $P^{-1}AP$

$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto &   \alpha_{1} &    \mapsto   &   \lambda_{1}\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1} e_{1}  \\
 e_{2} & \mapsto &   \alpha_{2} & \mapsto     & \lambda_{1}\alpha_{2}+\alpha_{1}& \mapsto & \lambda_{1}e_{2}+e_{1}\\
 e_{3} & \mapsto &   \alpha_{3} & \mapsto     & \lambda_{1}\alpha_{3}+\alpha_{2}& \mapsto & \lambda_{1}e_{3}+e_{2}\\

 \vdots & \mapsto &   \vdots            & \mapsto    & \vdots &  \mapsto &  \vdots\\
 e_{n} &  \mapsto &    \alpha_{n} &  \mapsto    &\lambda_{n}\alpha_{n} &   \mapsto &  \lambda_{n}e_{n}
\end{array}$

Las flechitas significan "mapeo", $e_{1}\stackrel {P}{\mapsto}\alpha_{1}$ significa que $Pe_{1}=\alpha_{1}$ pero lo escribo asi para poder ilustrar toda la composicion que se necesita hacer para llegar a la forma de Jordan.

Otra vez observa el principio y final de las primeras 3 cadenas, tenemos que

$e_{1}\mapsto \lambda_{1}e_{1}$
$e_{2}\mapsto \lambda_{1}e_{2}+e_{1}$
$e_{3}\mapsto\lambda_{1}e_{3}+e_{2}$


entonces la matriz $J$ ahora se ve del modo siguiente:

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  1 & 0\ldots & 0 \\
0 & \lambda_{1}&1 & \ldots 0 \\
0 & 0 &  \lambda_{1}& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]$

Observa que se puede descomponer en la siguiente suma

$J=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} &  0 & 0\ldots & 0 \\
0 & \lambda_{1}& 0  & \ldots 0 \\
0 & 0 &  \lambda_{1}& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \lambda_{n}
 \end{array}
\right]+\left[
\begin{array}{cccc}
0 &  1 & 0\ldots & 0 \\
0 & 0 &1 & \ldots 0 \\
0 & 0 & 0& \ldots 0 \\

\vdots & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & 0
 \end{array}
\right]
$

La primera matriz es diagonal, y la segunda matriz que tiene ceros en la diagonal y abajo de ella, es nilpotente.

Acabas de ver como surge un bloque de Jordan, ese bloque donde aparece el mismo valor propio y arriba algunos 1.

Seguramente te has dado cuenta de que van a aparecer muchísimos casos de acuerdo a las multiplicidades de los valores propios que encuentres. Por ejemplo si encuentras un valor propio de multiplicidad 4, puede que existan 2 vectores propios asociados a él y tengas que calcular dos generalizados, ó puedes encontrar 3 vectores propios y buscar un generalizado, comienza a construir tus ejemplos, experimenta, es la mejor forma de aprender!

Te dejo un video donde abordamos el caso cuando la matriz tiene valores propios reales.

VALORES PROPIOS COMPLEJOS

Para analizar este caso basta considerar una matriz de $2\times 2$ Como es una matriz de coeficientes reales, su polinomio caracteristico es un polinomio real de grado 2, al encontrar una raiz compleja $\alpha+i\beta$, automaticamente sabes que su conjugado tambien es raiz $\alpha-i\beta$ y son las unoicas dos raices del polinomio caracteristico. Entonces tendras que encontrar su vector propio asociado, que tambien resultara ser un vector propio complejo $u+iv$, donde $u,v\in\mathbb{R}^ 2$. En este caso el cambio de base es el siguiente:
$e_{1}\mapsto u$, $e_{2}\mapsto v$, la matriz de cambio de base es $P=(u\vert v)$ y al final la composicion $P^ {-1}AP$ actua de la siguiente manera:
$ \begin{array}{ccccccc}
            &     P         &                     &       A        &                   &  P^{-1}& \\
 e_{1}  & \mapsto & u &    \mapsto   &  \alpha u -\beta v & \mapsto &  \alpha e_{1}-\beta e_{2}  \\
e_{2} & \mapsto &   v & \mapsto  &    \beta u +\alpha v  & \mapsto & \beta e_{1}+\alpha e_{2}  \\

\end{array}$

Al final te queda la matriz:

$P^ {-1}AP=\left[
\begin{array}{cc}
\alpha &  \beta \\
-\beta & \alpha

 \end{array}
\right]$
y esta es la forma de Jordan en el caso complejo de $2\times 2$, en el siguiente video te explico todo con mucho mas detalles...




Aqui te dejo un ejemplo donde se usa la forma de Jordan de una matriz en sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Si te ha gustado este post, compártelo! Suscribete a mi blog y a mi canal de YouTube, sugiere tus temas, no dudes en escribir tus comentarios.

Transformada de Laplace

 La transformada de Laplace es un operador qué se define de la siguiente manera:
$$F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t)\rbrace=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
evidentemente se necesita que la función $f$ sea tal qué la integral en cuestión exista. O sea que no podemos aplicar transformada de Laplace a cualquier función que se nos ocurra. La transformada de Laplace convierte algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, qué son mucho más fáciles de resolver y luego encuentras la solución por medio de la Transformada inversa de Laplace. Todo esto es gracias a sus múltiples propiedades, por ejemplo es un operador lineal qué tiene inversa lineal y muchas otras.
En este video expongo la definición de la Transformada de Laplace, menciono algunas de sus propiedades, y la aplico en una ecuación diferencial de segundo orden. Te dejo algunos cálculos como sugerencia para que tengas un aprendizaje sólido realizando los cálculos que son sencillos. Espero que te sea de gran utilidad.

 

Apoyame compartiendo este video a tus amiguito y suscribite a mi canal de Youtube para que te enteres cuando suba nuevos videos! 

Isometrías en el plano (Simetrías)

Las isometrías son las transformaciones que preservan las distancias, son más comunmente conocidas como SIMETRÍAS. Las conoce todo el mundo desde el kinder sin darse cuenta, aquí te las presento de una manera más formal, solo necesitas tener poquitas bases de geometría analítica, el plano cartesiano, coordenadas, y tal vez, ganas de dibujar y experimentar en tu cuaderno.

Hay 3 tipos de isometrías,  las analizaremos en el plano cartesiano $\mathbb{R}^{2}$ . Puedes comenzar dibujando el plano cartesiano en tu cuaderno.

Traslaciones

Trasladar es sumar un vector fijo $u\mapsto u+v_{0}$.

Las traslaciones no dejan fijo ningún punto, pero dejan invariantes todas las rectas paralelas al vector de traslación. Solo hay una traslación que deja todo el plano fijo, pero no tiene chiste porque esa traslación es sumar el vector $(0,0)$.

Rotaciones 

Consisten en dejar un punto fijo y a partir de ahi, trazar lineas hacia los puntos del plano, ahora en lugar de sumar un vector fijo, se suma un ángulo fijo. Las rotaciones más fáciles de manejar son aquellas que fijan el origen de coordenadas, es decir el punto $(0,0)$. En este caso se fija el origen de coordenadas y se suma un ángulo $\gamma$ a todas las flechas. Escribiendo en forma polar los vectores la traslación se expresa como: $r(cos\theta,sen\theta)\mapsto r(cos(\theta+\gamma),sen(\theta+\gamma) )$.

Las rotaciones solo dejan fijo un punto pero dejan invariantes todos los círculos con centro en ese punto. Hay una rotación que deja a todos los puntos del plano fijo, es la rotación trivial cuando el ángulo de rotación es cero, $\gamma=0$.
Las rotaciones se pueden representar en forma matricial, cada rotación tiene asociada una matriz cuadrada que está caracterizada por medio del ángulo de rotación. Las matrices de rotación tienen la característica de que su inversa es su transpuesta y tienen determinante 1.


La matriz de una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación $\theta$ en el plano es:

$\left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right]$

Reflexiones 

Fijar una recta y cada punto mandarlo a su opuesto con respecto a la recta trazando la linea perpendicular a la recta que pasa por ese punto. Un ejemplo sencillo de reflexión por el eje Y sería $(x,y)\mapsto (-x,y) $

Observemos que las reflexiones dejan fijo el eje de reflexión y dejan invariantes a todas las rectas perpendiculares al eje de reflexión.

Las reflexiones invierten la orientación. Véase el siguiente dibujo.

Con esta información de las isometrías, podemos hacer un análisis muy parecido en el espacio de tres dimensiones $\mathbb{R}^{3}$ . Sabiendo aplicar las isometrías podemos hallar las parametrizaciones y ecuaciones de curvas transformadas por isometrías de traslación, rotación y reflexión. Las isometrías ayudan a encontrar las ecuaciones más sencillas (canónicas) de curvas y superficies.

Matrices de rotación y reflexión en el plano

Continúa en SIMETRÍAS DE TRASLACIÓN

Si ésta información te ha sido útil, deja un comentario y compártela. Tus comentarios me ayudan a mejorar el material.

Les dejo un playlist de pura Geometría
https://www.youtube.com/playlist?list=PLW_W6Kqqwzr7DJLrPbLfOiQ8aeM_Ovxi7