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Hay dos maneras de representar y hacer cálculos de simetrías. Una es utilizando notación de transformaciones en el plano cartesiano, y la otra es usando los números complejos. Ambas son muy sencillas, sin embargo utilizar números complejos es una herramienta mucho más poderosa porque los números complejos en realidad son una estructura algebraica para el plano cartesiano.
El plano cartesiano lo representaremos como $\mathbb{R^2}$ y el plano complejo por medio de la letra $\mathbb{C}$.
A continuación escribiré una traslación usando las dos notaciones, tu decides cual te gusta mas.
Traslación - Es una transformación que consiste en sumar un vector fijo a cada punto del plano, geométricamente es pegar la misma flecha en cada punto.
En $\mathbb{R^2}$ es una transformación $T:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R^2}$
$$T(x,y)=(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x+x_0,y+y_0)$$ donde $(x_{0},y_{0})$ es un vector fijo en $\mathbb{R^2}$.
En $\mathbb{C}$ cada punto del plano se ve como un número complejo $x+iy$ donde $x$ y $y$ son números reales, $i$ es una unidad imaginaria qué tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a $-1$, es decir $i^2=-1$. Trasladar en el plano complejo es sumar un número complejo fijo a todos los demás números. En este caso consideremos el número $x_0+iy_0$ para que veas que prácticamente es lo mismo que hicimos en el plano cartesiano. Así que la transformación en este caso es $T:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ dada por la fórmula $$T(x+iy)=
(x+x_0)+i(y+y_0)$$
Observa que siempre puedes hacer una asociación entre puntos del plano y números complejos de la siguiente manera: $(x,y)\leftrightsquigarrow x+iy$
Ejercicios.
Encuentra la expresión en el plano cartesiano para la traslación por el vector $(2,-1)$
Dibuja el vector de traslación en el plano.
Encuentra la expresión compleja para la traslación por el número complejo $2-i$
Calcula el resultado de aplicar esa misma traslación a los vectores siguientes:
$(2,4)$, $(0,0)$, $\left(-3,\frac{1}{4}\right)$
Calcula el resultado de aplicar la traslación correspondiente en los números complejos siguientes:
$1+i$, $-i$, $6$
Observa que los números reales también forman parte de los números complejos.
Haz el dibujo resultante después de aplicar dicha traslación a partir del siguiente dibujo.
Ejercicio. Comprueba que las traslaciones preservan las distancias.
Las isometrías son las transformaciones que preservan las distancias, son más comunmente conocidas como SIMETRÍAS. Las conoce todo el mundo desde el kinder sin darse cuenta, aquí te las presento de una manera más formal, solo necesitas tener poquitas bases de geometría analítica, el plano cartesiano, coordenadas, y tal vez, ganas de dibujar y experimentar en tu cuaderno.
Hay 3 tipos de isometrías, las analizaremos en el plano cartesiano $\mathbb{R}^{2}$ . Puedes comenzar dibujando el plano cartesiano en tu cuaderno.
Traslaciones
Trasladar es sumar un vector fijo $u\mapsto u+v_{0}$.
Las traslaciones no dejan fijo ningún punto, pero dejan invariantes todas las rectas paralelas al vector de traslación. Solo hay una traslación que deja todo el plano fijo, pero no tiene chiste porque esa traslación es sumar el vector $(0,0)$.
Rotaciones
Consisten en dejar un punto fijo y a partir de ahi, trazar lineas hacia los puntos del plano, ahora en lugar de sumar un vector fijo, se suma un ángulo fijo. Las rotaciones más fáciles de manejar son aquellas que fijan el origen de coordenadas, es decir el punto $(0,0)$. En este caso se fija el origen de coordenadas y se suma un ángulo $\gamma$ a todas las flechas. Escribiendo en forma polar los vectores la traslación se expresa como: $r(cos\theta,sen\theta)\mapsto r(cos(\theta+\gamma),sen(\theta+\gamma) )$.
Las rotaciones solo dejan fijo un punto pero dejan invariantes todos los círculos con centro en ese punto. Hay una rotación que deja a todos los puntos del plano fijo, es la rotación trivial cuando el ángulo de rotación es cero, $\gamma=0$.
Las rotaciones se pueden representar en forma matricial, cada rotación
tiene asociada una matriz cuadrada que está caracterizada por medio del
ángulo de rotación. Las matrices de rotación tienen la característica de
que su inversa es su transpuesta y tienen determinante 1.
La matriz de una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación $\theta$ en el plano es:
Fijar una recta y cada punto mandarlo a su opuesto con respecto a la recta trazando la linea perpendicular a la recta que pasa por ese punto. Un ejemplo sencillo de reflexión por el eje Y sería $(x,y)\mapsto (-x,y) $
Observemos que las reflexiones dejan fijo el eje de reflexión y dejan invariantes a todas las rectas perpendiculares al eje de reflexión.
Las reflexiones invierten la orientación. Véase el siguiente dibujo.
Con esta información de las isometrías, podemos hacer un análisis muy parecido en el espacio de tres dimensiones $\mathbb{R}^{3}$ . Sabiendo aplicar las isometrías podemos hallar las parametrizaciones y ecuaciones de curvas transformadas por isometrías de traslación, rotación y reflexión. Las isometrías ayudan a encontrar las ecuaciones más sencillas (canónicas) de curvas y superficies.
