Series de Fourier I

La serie de Fourier ofrece otra manera de aproximarse a cierta clase de funciones, conviene usarse para aproximar funciones que son periodicas. El conjunto de funciones continuas en un intervalo forma un espacio vectorial de dimensión infinita. Las series polinomiales y las series de Fourier son combinaciones lineales de bases infinitas. Si se conoce la función que se quiere aproximar, existen fórmulas qué nos dan los coeficientes de estas combinaciones. Pero en este ejemplo súper ultra sencillo, la idea es proponer una solución a una ecuación diferencial, de modo que no conocemos esos coeficientes y tenemos que deducir los al sustituir la serie en la ecuación diferencial y aplicar las condiciones iniciales. Espero que esté ejemplo te aporte una introducción amena a las Series de fourier y su aplicación en las ecuaciones diferenciales.

Transformada de Laplace

 La transformada de Laplace es un operador qué se define de la siguiente manera:
$$F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t)\rbrace=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
evidentemente se necesita que la función $f$ sea tal qué la integral en cuestión exista. O sea que no podemos aplicar transformada de Laplace a cualquier función que se nos ocurra. La transformada de Laplace convierte algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, qué son mucho más fáciles de resolver y luego encuentras la solución por medio de la Transformada inversa de Laplace. Todo esto es gracias a sus múltiples propiedades, por ejemplo es un operador lineal qué tiene inversa lineal y muchas otras.
En este video expongo la definición de la Transformada de Laplace, menciono algunas de sus propiedades, y la aplico en una ecuación diferencial de segundo orden. Te dejo algunos cálculos como sugerencia para que tengas un aprendizaje sólido realizando los cálculos que son sencillos. Espero que te sea de gran utilidad.

 

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