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Probablemente nunca necesites unas clases de ecuaciones diferenciales, pero tal vez tienes algo de curiosidad acerca de que se trata el tema. Si es asi, te puedo platicar un poquito de que es una ecuación diferencial
esto es lo que yo diría en una primera clase...
Una ecuacion diferencial es una ecuación donde aparecen relacionadas funciones y sus derivadas, las incógnitas en este caso son las funciones. Sabiendo esto ya puedes inventar muchas ecuaciones, con funciones de una variable o de muchas variables, si tus funciones son de muchas variables tendrás que usar derivadas parciales, aquí aparece la primera clasificación de las ecuaciones diferenciales: Ecuaciones parciales vs Ecuaciones ordinarias. Obviamente las ecuaciones parciales son mucho más difíciles de resolver.
De donde salieron las ecuaciones diferenciales?
Las ecuaciones diferenciales aparecen en la modelacion de fenómenos fisicos, ya que la derivada de una funcion se interpreta como una razón de cambio instantánea de la funcion, por ejemplo, la derivada de la función que determina la posición de una partícula en el tiempo, es la velocidad, y la derivada de la velocidad, es la aceleracion. Se usan en fisica, biologia, química y sistemas complejos por ejemplo para modelar el clima, y hay audaces intentos de usarlas para estudiar movimientos sociales. Una vez un amigo hizo una ecuación diferencial del amor, tomando en cuenta la dinámica de encuentros entre individuos en la escuela :S. Bueno regresando al tema...
Si solo es una variable, entonces estamos hablando de ecuaciones diferenciales ordinarias, y aquí aparece una segunda clasificación, según sea el máximo orden de la derivada que aparezca en la ecuación, así que tenemos ecuaciones de primer orden, segundo orden, etc. De todas las ecuaciones que se te puedan ocurrir, solo muy pocas tendrán solución , en los cursos de ecuaciones se enseñan los métodos que se han descubierto para resolver algunas ecuaciones de las más sencillas (ordinarias y parciales). Como te puedes imaginar, las ecuaciones parciales requieren mucho más trabajo, así que hay cursos más avanzados para tratar estas ecuaciones.
Como las funciones incógnitas aparecen derivadas, será imprescindible calcular integrales, así que este curso requiere que hayas estudiando cálculo diferencial e integral.
Cuando las ecuaciones no se pueden resolver facil por algún método conocido, se usan otros métodos para aproximar las soluciones alrededor de algún punto, y estos métodos pueden estar basados en usar series de potencias, series de fourier (para buscar soluciones periodicas).
En la práctica estos métodos de aproximación sirven para hacer programas de computadora que ofrezcan aproximaciones con un margen de error deseado.
El método más elemental para resolver las ecuaciones de primer orden más sencillas se llama Separación de variables
este método es el más basico, al final de casi cualquier ejercicio, se llega a una ecuación separable. Espero que este post te haya gustado, si es asi, no dudes en compartirlo y en suscribirte a mi blog y a mi canal de youtube. Sugiere tus temas, comenta!
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...después de todo este rollo solo queda bailar alegremente y presumir lo que acabas de aprender :D
La forma de Jordan de una matriz es un recurso de álgebra lineal que es muy útil para ahorrarse muchos cálculos. Sin embargo aprenderla causa mucha confusión porque para cada dimensión surgen más y más casos. En este video - post, trataré de explicarte los aspectos más importantes para que puedas utilizar la forma de Jordan sin tener que pasar horas en un libro. Pero si necesitas conocimientos básicos de álgebra lineal para este post.
Comenzamos con una matriz cuadrada con coeficientes reales, como esta
Es la suma de una matriz diagonal con una matriz nilpotente.
Nilpotente - Se dice que $N$ es una matriz nilpotente si existe alguna $k\in\mathbb{Z}$ tal que $N^{k}=0$. Es decir que a partir de la potencia $k$ todas las potencias de la matriz N se anulan, se vuelven la matriz cero.
La forma de Jordan de una matriz se obtiene por medio de un cambio de base. Recuerda que cada matriz tiene asociada una transformación lineal, en este caso $A$ tiene asociada una transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$. Observa que dicha transformación transforma los vectores canónicos $e_{1}$ y $e_{2}$ en los vectores columna de la matriz $A$. Haz tu comprobación.
Pero si hacemos un cambio de base $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$, esa misma transformación tiene asociada una matriz diferente en la base nueva $\lbrace \alpha_{1},\alpha_{2}\rbrace$. La idea es encontrar a las $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ tales que la nueva matriz sea lo mas sencilla posible, o sea, la forma de Jordan de $A$.
El cambio de base. Sea $P$ la matriz que tiene como columnas a los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$, esa matriz al aplicarla en los vectores canonicos hace lo siguiente:
$Pe_{1}=\alpha_{1}$
$Pe_{2}=\alpha_{2}$
Ese es el cambio de base, y si los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ se escogieron debidamente, la forma de Jordan de $A$ se calcula de la siguiente manera.
$J=P^{-1}AP$
Ahora te explico como encontrar los vectores $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$ para calcular la forma de Jordan.
Recuerda que en el caso de que $A$ sea una matriz de $n\times n$ necesitarás $n$ vectores para formar una base.
VECTORES Y VALORES PROPIOS
Primero buscamos los vectores y valores propios de la matriz $A$. Recuerda que $u$ es vector propio de $A$ si existe un numero real $\lambda$ tal que $Au=\lambda u$, en caso de que exista $\lambda$ se llama valor propio de $A$ asociado al vector $u$.
Para encontrar los vectores y valores propios observa que la ecuación anterior se puede escribir de diferente modo:
$Au=\lambda u$
$Au-\lambda u$
$(A-\lambda I) u=\bar 0$
donde $I$ es la matriz identidad, y le puse barrita al cero para que observes que es el vector cero, no el numero cero.
Esta ultima ecuación da lugar a un sistema de ecuaciones, una ecuación por cada coordenada de $u$. Si $u\in\mathbb{R}^{2}$ son dos ecuaciones, si $u\in\mathbb{R}^{n}$ son $n$ ecuaciones. Ese sistema tiene soluciones no triviales, siempre y cuando su determinante sea cero.
Al calcular el determinante $|A-\lambda I|$ e igualarlo a cero, obtendrás una ecuación de grado $n$. Las soluciones de esa ecuación son los valores propios. Esta ecuación se llama polinomio característico.
$|A-\lambda I|=0$
Una vez que encontraste a los valores propios, hay que encontrar a los vectores propios correspondientes. Esto se hace sustituyendo cada uno de los valores propios en la ecuacion $(A-\lambda I) u=\bar 0$ y resolver para las coordenadas de $u$.
Por cada valor propio, vas a obtener por lo menos un vector propio, pero a veces puedes obtener mas de uno.
Si al final de este proceso encontraste exactamente $n$ vectores propios, estás de suerte porque con esos se forma una base. Esa es la base que necesitas para encontrar la forma de Jordan, por medio de la formula $J=P^{-1}AP$, donde $P$ se forma con los vectores que encontraste puestos como columnas. Observa la siguiente cadena de composiciones.
Los numeros $\lambda_{k}$ pueden aparecer repetidos.
Si te fijas solamente en el principio y final de cada cadena veras que $e_{k}$ se va a $\lambda_{k}e_{k}$, eso es lo que hace la composicion $P^{-1}AP$ y por lo tanto la matriz asociada a esa composicion es la siguiente:
Pero si no encuentras una base de vectores propios, hay que terminar de formar la base con vectores propios generalizados.
VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS
Un vector propio generalizado es un vector que casi es propio. Supongamos que el valor propio $\lambda_{1}$ aparecio como raiz de multiplicidad 3 del polinomio caracteristico. Pero solo pudiste encontrar 1 vector propio $\alpha_{1}$ con ese valor. Entonces necesitaras encontrar 2 vectores propios generalizados para que se complete la multiplicidad 3. Buscaras $\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ que cumplan lo siguiente:
Las flechitas significan "mapeo", $e_{1}\stackrel {P}{\mapsto}\alpha_{1}$ significa que $Pe_{1}=\alpha_{1}$ pero lo escribo asi para poder ilustrar toda la composicion que se necesita hacer para llegar a la forma de Jordan.
Otra vez observa el principio y final de las primeras 3 cadenas, tenemos que
La primera matriz es diagonal, y la segunda matriz que tiene ceros en la diagonal y abajo de ella, es nilpotente.
Acabas de ver como surge un bloque de Jordan, ese bloque donde aparece el mismo valor propio y arriba algunos 1.
Seguramente te has dado cuenta de que van a aparecer muchísimos casos de acuerdo a las multiplicidades de los valores propios que encuentres. Por ejemplo si encuentras un valor propio de multiplicidad 4, puede que existan 2 vectores propios asociados a él y tengas que calcular dos generalizados, ó puedes encontrar 3 vectores propios y buscar un generalizado, comienza a construir tus ejemplos, experimenta, es la mejor forma de aprender!
Te dejo un video donde abordamos el caso cuando la matriz tiene valores propios reales.
VALORES PROPIOS COMPLEJOS
Para analizar este caso basta considerar una matriz de $2\times 2$ Como es una matriz de coeficientes reales, su polinomio caracteristico es un polinomio real de grado 2, al encontrar una raiz compleja $\alpha+i\beta$, automaticamente sabes que su conjugado tambien es raiz $\alpha-i\beta$ y son las unoicas dos raices del polinomio caracteristico. Entonces tendras que encontrar su vector propio asociado, que tambien resultara ser un vector propio complejo $u+iv$, donde $u,v\in\mathbb{R}^ 2$. En este caso el cambio de base es el siguiente:
$e_{1}\mapsto u$, $e_{2}\mapsto v$, la matriz de cambio de base es $P=(u\vert v)$ y al final la composicion $P^ {-1}AP$ actua de la siguiente manera:
$ \begin{array}{ccccccc}
& P & & A & & P^{-1}& \\
e_{1}
& \mapsto & u & \mapsto & \alpha u -\beta v & \mapsto & \alpha e_{1}-\beta e_{2} \\
e_{2}
& \mapsto & v & \mapsto & \beta u +\alpha v & \mapsto & \beta e_{1}+\alpha e_{2} \\
El método de resolver ecuaciones diferenciales por medio de series es uno de los métodos que sirven en la mayoría de ocasiones. Recuerda que para la mayoría de las ecuaciones diferenciales qué te puedas inventar, no existe un método de solución garantizado. Pero siempre puedes intentarlo con series.
La forma más general de una serie de potencias es la siguiente;
$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
donde $x_0$ es el punto alrededor del cual se construye la serie.
Después hay que derivar la serie termino a término
$$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n n(x-x_0)^{n-1}$$
$$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$$
y así sucesivamente...
y sustituir en la ecuación diferencial dada para encontrar una regla de recurrencia para los coeficientes de la serie, o sea los $a_n$. Recuerda que no podrás determinarlos todos porque en algunos casos la solución general queda en términos de una o más constantes libres, puesto que las soluciones en muchos casos forman espacios vectoriales. Eso es lo que pasará en los ejemplos que te presento a continuación, que son ecuaciones de segundo orden.
Uno de los problemas que tendrás que enfrentar es decidir alrededor de qué punto vas a desarrollar la serie. Puede que la solución en caso de que exista no esté definida en todo punto. Aquí te dejo un ejemplo donde eso sucede porque la solución es una función de tipo logaritmo y en ese caso es imprescindible escoger bien el punto alrededor del cual desarrollar la serie. Te comparto unos videos espero que te sean de gran utilidad.
Por último te presento un ejemplo bien sencillito con Series de Fourier, qué más bien se usan en ecuaciones diferenciales parciales pero este ejemplo me pareció muy bueno para introducirlas de manera más accesible. Aquí no tienes una serie de potencias, sino una serie construida con senos y cosenos, con estas funciones nos podemos aproximar más fácil a las funciones que son periodicas.
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La serie de Fourier ofrece otra manera de aproximarse a cierta clase de funciones, conviene usarse para aproximar funciones que son periodicas. El conjunto de funciones continuas en un intervalo forma un espacio vectorial de dimensión infinita. Las series polinomiales y las series de Fourier son combinaciones lineales de bases infinitas. Si se conoce la función que se quiere aproximar, existen fórmulas qué nos dan los coeficientes de estas combinaciones. Pero en este ejemplo súper ultra sencillo, la idea es proponer una solución a una ecuación diferencial, de modo que no conocemos esos coeficientes y tenemos que deducir los al sustituir la serie en la ecuación diferencial y aplicar las condiciones iniciales. Espero que esté ejemplo te aporte una introducción amena a las Series de fourier y su aplicación en las ecuaciones diferenciales.
La transformada de Laplace es un operador qué se define de la siguiente manera:
$$F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t)\rbrace=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
evidentemente se necesita que la función $f$ sea tal qué la integral en cuestión exista. O sea que no podemos aplicar transformada de Laplace a cualquier función que se nos ocurra. La transformada de Laplace convierte algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, qué son mucho más fáciles de resolver y luego encuentras la solución por medio de la Transformada inversa de Laplace. Todo esto es gracias a sus múltiples propiedades, por ejemplo es un operador lineal qué tiene inversa lineal y muchas otras.
En este video expongo la definición de la Transformada de Laplace, menciono algunas de sus propiedades, y la aplico en una ecuación diferencial de segundo orden. Te dejo algunos cálculos como sugerencia para que tengas un aprendizaje sólido realizando los cálculos que son sencillos. Espero que te sea de gran utilidad.
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La ecuación de Ricatti fue inventada estudiando la dinámica de fluidos, hay dos propuestas para resolverla, una desarrollada por Bernoulli y otra propuesta por Euler, en este video expongo la técnica desarrollada por Bernoulli, mediante dos cambios de variable, se transforma primero en una ecuación de Bernoulli, y luego en una ecuación lineal. También resuelvo un ejemplo de principio a fin con todos sus cambios de variable Recuerda que para resolverla por completo se necesita conocer una solución particular. Espero que te sirva este video.
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