La forma más general de una serie de potencias es la siguiente;
$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$
donde $x_0$ es el punto alrededor del cual se construye la serie.
Después hay que derivar la serie termino a término
$$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n n(x-x_0)^{n-1}$$
$$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)(x-x_0)^{n-2}$$
y así sucesivamente...
y sustituir en la ecuación diferencial dada para encontrar una regla de recurrencia para los coeficientes de la serie, o sea los $a_n$. Recuerda que no podrás determinarlos todos porque en algunos casos la solución general queda en términos de una o más constantes libres, puesto que las soluciones en muchos casos forman espacios vectoriales. Eso es lo que pasará en los ejemplos que te presento a continuación, que son ecuaciones de segundo orden.
Uno de los problemas que tendrás que enfrentar es decidir alrededor de qué punto vas a desarrollar la serie. Puede que la solución en caso de que exista no esté definida en todo punto. Aquí te dejo un ejemplo donde eso sucede porque la solución es una función de tipo logaritmo y en ese caso es imprescindible escoger bien el punto alrededor del cual desarrollar la serie. Te comparto unos videos espero que te sean de gran utilidad.
Por último te presento un ejemplo bien sencillito con Series de Fourier, qué más bien se usan en ecuaciones diferenciales parciales pero este ejemplo me pareció muy bueno para introducirlas de manera más accesible. Aquí no tienes una serie de potencias, sino una serie construida con senos y cosenos, con estas funciones nos podemos aproximar más fácil a las funciones que son periodicas.
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