Hay dos maneras de representar y hacer cálculos de simetrías. Una es utilizando notación de transformaciones en el plano cartesiano, y la otra es usando los números complejos. Ambas son muy sencillas, sin embargo utilizar números complejos es una herramienta mucho más poderosa porque los números complejos en realidad son una estructura algebraica para el plano cartesiano.
El plano cartesiano lo representaremos como $\mathbb{R^2}$ y el plano complejo por medio de la letra $\mathbb{C}$.
A continuación escribiré una traslación usando las dos notaciones, tu decides cual te gusta mas.
Traslación - Es una transformación que consiste en sumar un vector fijo a cada punto del plano, geométricamente es pegar la misma flecha en cada punto.
En $\mathbb{R^2}$ es una transformación $T:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R^2}$
$$T(x,y)=(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x+x_0,y+y_0)$$ donde $(x_{0},y_{0})$ es un vector fijo en $\mathbb{R^2}$.
En $\mathbb{C}$ cada punto del plano se ve como un número complejo $x+iy$ donde $x$ y $y$ son números reales, $i$ es una unidad imaginaria qué tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a $-1$, es decir $i^2=-1$. Trasladar en el plano complejo es sumar un número complejo fijo a todos los demás números. En este caso consideremos el número $x_0+iy_0$ para que veas que prácticamente es lo mismo que hicimos en el plano cartesiano. Así que la transformación en este caso es $T:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ dada por la fórmula $$T(x+iy)=
(x+x_0)+i(y+y_0)$$
Observa que siempre puedes hacer una asociación entre puntos del plano y números complejos de la siguiente manera: $(x,y)\leftrightsquigarrow x+iy$
Ejercicios.
$(2,4)$, $(0,0)$, $\left(-3,\frac{1}{4}\right)$
$1+i$, $-i$, $6$
El plano cartesiano lo representaremos como $\mathbb{R^2}$ y el plano complejo por medio de la letra $\mathbb{C}$.
A continuación escribiré una traslación usando las dos notaciones, tu decides cual te gusta mas.
Traslación - Es una transformación que consiste en sumar un vector fijo a cada punto del plano, geométricamente es pegar la misma flecha en cada punto.
En $\mathbb{R^2}$ es una transformación $T:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R^2}$
$$T(x,y)=(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x+x_0,y+y_0)$$ donde $(x_{0},y_{0})$ es un vector fijo en $\mathbb{R^2}$.
En $\mathbb{C}$ cada punto del plano se ve como un número complejo $x+iy$ donde $x$ y $y$ son números reales, $i$ es una unidad imaginaria qué tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a $-1$, es decir $i^2=-1$. Trasladar en el plano complejo es sumar un número complejo fijo a todos los demás números. En este caso consideremos el número $x_0+iy_0$ para que veas que prácticamente es lo mismo que hicimos en el plano cartesiano. Así que la transformación en este caso es $T:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ dada por la fórmula $$T(x+iy)=
(x+x_0)+i(y+y_0)$$
Observa que siempre puedes hacer una asociación entre puntos del plano y números complejos de la siguiente manera: $(x,y)\leftrightsquigarrow x+iy$
Ejercicios.
- Encuentra la expresión en el plano cartesiano para la traslación por el vector $(2,-1)$
- Dibuja el vector de traslación en el plano.
- Encuentra la expresión compleja para la traslación por el número complejo $2-i$
- Calcula el resultado de aplicar esa misma traslación a los vectores siguientes:
$(2,4)$, $(0,0)$, $\left(-3,\frac{1}{4}\right)$
- Calcula el resultado de aplicar la traslación correspondiente en los números complejos siguientes:
$1+i$, $-i$, $6$
- Observa que los números reales también forman parte de los números complejos.
- Haz el dibujo resultante después de aplicar dicha traslación a partir del siguiente dibujo.
- Ejercicio. Comprueba que las traslaciones preservan las distancias.
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